Vektorraum der (0,1)-Tupel < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mo 31.10.2011 | | Autor: | doom0852 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Menge der {0,1}-Tupel der Länge [mm] n\in \IN [/mm] :
S:={(x1,x2,...xn)|xi [mm] \in [/mm] {0,1}}
Definieren Sie eine Addition und eine skalare Multiplikation, so dass S zu einem reellen Vektorraum wird. Zeigen Sie die Abgeschlossenheit von S bzgl. der beiden von Ihnen definierten Operationen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Dass ist die noch verbleibende Aufgabe eines Übungszettels, der mir leider zu Schaffen macht. Der Teil mit der Abgeschlossenheit eigen ist mir ja schon aus dem Unterraumbeweis bekannt, jedoch muss ich davor wissen WAS ich überapt als abgeschlossen beweisen soll. Und in dem Fall hab ich salopp gesagt wirklich keinen SChimmer. Die {0,1}-Tupel erinnern mich lediglich an "ja,nein"-Werte aus der Schulinformatik. Aber was das in diesem Zussamenhang soll steh ich momentan total aufn Schlauch.
Über Lösungshinweise wäre ich sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Mo 31.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo doom,
eine ungewöhnliche Antwort: Die Aufgabe ist nicht lösbar.
Es gibt keinen reellen Vektorraum außer dem Nullvektorraum, der nur endlich viele Elemente enthält.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:56 Mo 31.10.2011 | | Autor: | doom0852 |
Hallo,
nach meinen Internetrecherchen ist der Begriff reeler Vektorraum weit verbreitet. Sind Sie sicher, dass ein Professor für ERstsemester auf dem ersten Übungsblatt eine unlösbare Aufgabe stellen würde, wobei unser Tutor uns den enzigst (verwirrenden) Tpp gegeben hat man soll 1+1=0 0+1=1 0+0=0 Distributivität beweisen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mo 31.10.2011 | | Autor: | doom0852 |
| Aufgabe | a1,b1 [mm] \in [/mm] S, [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
s1 [mm] \oplus [/mm] s2= [mm] (k1+k2)mod_{2} [/mm]
[mm] \alpha [/mm] * k1= [mm] [\alpha]mod_{2} [/mm] * k1
a1 [mm] \oplus [/mm] k = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (ai+bi)mod2 * êi
[mm] \alpha [/mm] * a= [mm] \summe_{i=1}^{n} [\alpha]mod2 [/mm] * ai * êi
[mm] [\alpha]mod2 \in [/mm] [0,1]
[mm] \summe_{i=1}^{n} [\alpha]mod2 [/mm] * ai * êi= [mm] \vec{o} \in [/mm] S
--> a [mm] \in [/mm] S |
Die Lösung die ich gerade von einem Kommilitonen bekommen habe. Kann mir hier jemand vllt. diese Antowrt erklären bzw ob sie richtig ist. Ich versteh ja nicht einmal die Notation mod etc., hab ich noch nie gehört in der Oberstufe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mo 31.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Diese "Lösung" ist kaum lesbar.
Ich interpretiere sie folgendermaßen:
Für [mm] $x=(x_1,\ldots,x_n),y=(y_1,\ldots,y_n)\in [/mm] S$ soll die Summe erklärt sein durch
[mm] $x+y:=((x_1+y_1)\operatorname{mod}2,\ldots,(x_n+y_n)\operatorname{mod}2)$.
[/mm]
Für [mm] $x=(x_1,\ldots,x_n)\in [/mm] S$ und [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] soll [mm] $\alpha\cdot [/mm] x$ erklärt werden durch
[mm] $\alpha\cdot x:=(([\alpha]\operatorname{mod}2)\cdot x_1,\ldots,([\alpha]\operatorname{mod}2)\cdot x_n)$, [/mm] wobei mit [mm] $[\alpha]$ [/mm] die Gaußklammer gemeint sei.
Dann gilt [mm] $(\bruch12\cdot2)\cdot(1,\ldots,1)=(1,\ldots,1)\not=(0,\ldots,0)=\bruch12\cdot(2\cdot(1,\ldots,1))$ [/mm] und somit ist ein Vektorraumaxiom verletzt.
Da die Aufgabe dadurch nicht gelöst werden kann, verzichte ich auf Erklärungen, was z.B. [mm] $\operatorname{mod}$ [/mm] bedeutet.
Ich wäre echt neugierig, was euch als Musterlösung präsentiert wird. Du kannst sie ja dann mal hier posten und von mir oder jemand anderem widerlegen lassen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Mo 31.10.2011 | | Autor: | doom0852 |
Ok, danke soweit. Was soll ich auf den Übungszettel (Abgabe morgen 8 Uhr;) ) schreiben?
Aufgabe nicht lösbar, da kein reeller VR existiert nur Nullvektorraum.. ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Mo 31.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ok, danke soweit. Was soll ich auf den Übungszettel
> (Abgabe morgen 8 Uhr;) ) schreiben?
>
> Aufgabe nicht lösbar, da kein reeller VR existiert nur
> Nullvektorraum.. ?
Da war wohl meine erste Antwort etwas missverständlich formuliert: Es gibt selbstverständlich jede Menge reeller Vektorräume und nicht nur den Nullvektorraum. Nur haben alle außer dem Nullvektorraum unendlich viele Elemente.
Du könntest also z.B. schreiben:
Außer dem Nullvektorraum sind alle reellen Vektorräume unendlich. Also kann S für [mm] $n\ge1$ [/mm] nicht mit der Struktur eines reellen Vektorraumes versehen werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 01.11.2011 | | Autor: | doom0852 |
| Aufgabe | xi [mm] \oplus [/mm] yi = (xi+yi)mod2= {1+1=0, 0+1=1, 0+0=0}
[mm] \alpha \in \IR \alpha \vektor{x1 \\ ... \\ xn} [/mm] = { (0,0...0) wenn [mm] \alpha [/mm] = 0, sonst (1,1...1)}
{0,1}-->{0,1} bildet auf sich selbst ab --> abgeschlossen. |
Das war die Musterlösung der gestellten Aufgabe heute im Tutorium. Widerlegungsvorschläge sind willkommen bzw. Erklräungen falls diese richtig ist. Danke;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Super, freut mich, dass du das hier postest! 
> xi [mm]\oplus[/mm] yi = (xi+yi)mod2 (1+1=0, 0+1=1, 0+0=0)
> [mm]\alpha \in \IR \alpha \vektor{x1 \\ ... \\ xn}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$ (0,0...0) wenn [mm]\alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0, sonst (1,1...1)$\}$
Wie folgt lässt sich widerlegen, dass dadurch S zu einem Vektorraum wird:
Z.B. ist (für $n\ge 1$)
$(1+1)\cdot(1,\ldots,1)=(1,\ldots,1)\not=(0,\ldots,0)=1\cdot(1,\ldots,1)+1\cdot(1,\ldots,1)$,
also ist eines der beiden Distributivgesetze aus der Definition eines Vektorraumes verletzt.
Hast du schon deine Lösung, dass die Aufgabe nicht lösbar ist, zurück?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Di 01.11.2011 | | Autor: | doom0852 |
Ne, die hat der Tutor erst bis nächsten Dienstag korrigiert. Danke, aber ich versteh deine Lösung nicht. Bzw.. ich versteh die ganze Aufgabe mit den Tupel nich ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ne, die hat der Tutor erst bis nächsten Dienstag
> korrigiert. Danke, aber ich versteh deine Lösung nicht.
> Bzw.. ich versteh die ganze Aufgabe mit den Tupel nich ;)
Dass du meiner Argumentation zur Widerlegung des Tutors nicht vollständig folgen kannst ist klar, da ich dir ja nicht erklärt habe, was der Tutor meinte. Ich denke das lohnt auch nicht, da die Lösung des Tutors ja sowieso falsch ist.
Die Aufgabenstellung an sich solltest du dagegen meiner Einschätzung nach schon versuchen zu verstehen.
Ist dir klar, was ein reeller Vektorraum ist?
Ist dir klar, wie die Menge S aussieht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mi 02.11.2011 | | Autor: | doom0852 |
Ein reeler VR ist meines Wissens nach ein durch lin unabh. Vektoren aufgespanntes Koordiantensystem, dass die Menge an Vektoren [mm] \in \IR [/mm] ^n beinhaltet. wobei n doch die anzahl der basisvektoren sein müsste. Das mit den Tupel hab ich noch nich so kapiert. Der VR S besteht demnach nur aus 0 und 1- Werten. WEiter bin ich aber auch nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mi 02.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ein reeler VR ist meines Wissens nach ein durch lin unabh.
> Vektoren aufgespanntes Koordiantensystem, dass die Menge an
> Vektoren [mm]\in \IR[/mm] ^n beinhaltet. wobei n doch die anzahl der
> basisvektoren sein müsste.
Damit kannst du in der Tat diese Aufgabe nicht verstehen. Ihr habt doch bestimmt irgendwann in der Vorlesung eine Definition eines reellen Vektorraumes bekommen. Und die gilt es (zumindest in den Grundzügen) zu verstehen.
Ein reeller Vektorraum besteht aus 3 Objekten:
1. Eine Menge $V$, deren Elemente Vektoren genannt werden. Das kann (zunächst einmal) eine beliebige Menge sein. Vektoren können also beliebige Elemente einer Menge, also beliebige Objekte sein! Sie müssen nicht wie Vektoren des [mm] $\IR^n$ [/mm] aussehen.
2. Eine Vorschrift, wie sich je zwei Vektoren (also Elemente von $V$) addieren lassen. Also eine Zuordnung, die je zwei Vektoren [mm] $v,w\in [/mm] V$ einen weiteren Vektor [mm] $v+w\in [/mm] V$ zuordnet.
3. Eine Vorschrift, wie sich je eine reelle Zahl mit je einem Vektor multiplizieren lässt. Also eine Zuordnung, die jeder reellen Zahl [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] und jedem Vektor [mm] $v\in [/mm] V$ einen Vektor [mm] $\alpha\cdot v\in [/mm] V$ zuordnet.
In der Aufgabe ist von den drei Objekten, die einen reellen Vektorraum bilden sollen, das 1. vorgegeben, nämlich die Menge $V=S$. Gefunden werden sollen die unter 2. und 3. genannten Vorschriften, so dass ein reeller Vektorraum entsteht.
In der Definition eines reellen Vektorraumes wirst du neben der Aufzählung der 3 dazugehörigen Objekte noch einige Eigenschaften finden, die diese 3 Objekte zu erfüllen haben, damit man überhaupt nur von einem reellen Vektorraum sprechen kann.
Und diese Eigenschaften können in der vorliegenden Aufgabe nicht alle gleichzeitig erfüllt werden, egal wie man die unter 2. und 3. genannten Vorschriften wählt.
> Der vermeintliche  VR S besteht demnach nur aus 0 und 1-
> Werten. WEiter bin ich aber auch nicht.
Nehmen wir z.B. $n=3$: Dann besteht S aus folgenden acht Elementen:
(0,0,0)
(0,0,1)
(0,1,0)
(0,1,1)
(1,0,0)
(1,0,1)
(1,1,0)
(1,1,1)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 14.11.2011 | | Autor: | doom0852 |
Hallo,
die Antwort die Frage sei unlösbar, wurde leider mit 0 Punkten bewertet. Soviel ich das mitbekommen habe, hatten ein paar Probleme mit der Distributivität, die der Tutor dann nach Rücksprache mit dem Prof. widerlegt hat. So kanns bin ich da nich mitgekommen ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mo 14.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
erst mal die Def.
I: [mm] \alpha [/mm] * [mm] (\beta [/mm] * v) = [mm] (\alpha \cdot \beta) [/mm] * v
[mm] IIa:\alpha [/mm] * (u + v) = [mm] \alpha [/mm] * u + [mm] \alpha [/mm] * v
IIb: [mm] (\alpha+\beta) [/mm] * v = [mm] \alpha [/mm] * v + [mm] \beta [/mm] * v,
sowie die Neutralität der 1 (als Einselement) des Körpers K(hier [mm] K=\IR
[/mm]
III: 1 * v = v
jetzt dein "Beweis"
a) xi $ [mm] \oplus [/mm] $ yi = (xi+yi)mod2 (1+1=0, 0+1=1, 0+0=0)
b) $ [mm] \alpha \in \IR \alpha \vektor{x1 \\ ... \\ xn} [/mm] $ = $ [mm] \{ $ (0,0...0) wenn $ \alpha $ = 0, sonst (1,1...1)$ \} [/mm] $
es muss III oben gelten 1*v=v aber für [mm] \alpha\ne0 [/mm] gilt nach b) mit [mm] \alpha=1
[/mm]
1*v=(1,1,1,1,....) auch wenn v=(0,1,0,1.. )ist
Widerspruch
zusätzlich: [mm] \alpha [/mm] * (u + v) = [mm] \alpha [/mm] * u + [mm] \alpha [/mm] * v
nach b) ist [mm] \alpha [/mm] * (u + v)=(1,1,...)
[mm] \alpha [/mm] * u=(1,1,..) [mm] \beta*v=(1,1,..)
[/mm]
also steht links (1,1,..) rechts (1,1,...)+(1,1,...)
das ist nach a) (0,0,..)
damit ist IIa verletzt und III
kannst du das weitergeben und deine Punkte noch kriegen?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:53 Di 15.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> die Antwort die Frage sei unlösbar, wurde leider mit 0
> Punkten bewertet. Soviel ich das mitbekommen habe, hatten
> ein paar Probleme mit der Distributivität, die der Tutor
> dann nach Rücksprache mit dem Prof. widerlegt hat. So
> kanns bin ich da nich mitgekommen ;)
Wenn ich dich richtig verstehe, hat der Tutor inzwischen eingesehen, dass seine "Lösung" falsch ist, glaubt jedoch nach wie vor, die Aufgabe sei lösbar? Hat er irgendetwas zu deiner Abgabe geschrieben? Ich nehme mal an, ihm ist nicht klar, dass jeder reelle Vektorraum, der mehr als ein Element hat, unendlich viele Elemente haben muss. Daher würde ich Folgendes ausdrucken und ihm vorlegen, um noch an die Punkte zu kommen:
Jeder reelle Vektorraum V, der mehr als ein Element hat, hat unendlich viele Elemente:
Sei [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $v\not=0$. [/mm] Wir zeigen, dass die Vektoren [mm] $a\cdot [/mm] v$, [mm] $a\in\IR$ [/mm] paarweise verschieden sind.
Denn angenommen [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] mit [mm] $a\not=b$ [/mm] und [mm] $a\cdot v=b\cdot [/mm] v$. Dann gilt [mm] $(a-b)\cdot [/mm] v=0$ und somit $a-b=0$ oder $v=0$. $a-b=0$ kann nicht sein, da [mm] $a\not=b$ [/mm] angenommen wurde. $v=0$ kann aber ebenfalls nicht sein, da [mm] $v\not=0$ [/mm] gewählt wurde. Wir erhalten also einen Widerspruch.
S hat für [mm] $n\ge1$ [/mm] mehr als ein Element und nur endlich viele Elemente. Also kann S nicht mit der Struktur eines reellen Vektorraumes versehen werden.
Viel Erfolg!
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Di 15.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > die Antwort die Frage sei unlösbar, wurde leider mit 0
> > Punkten bewertet. Soviel ich das mitbekommen habe, hatten
> > ein paar Probleme mit der Distributivität, die der Tutor
> > dann nach Rücksprache mit dem Prof. widerlegt hat. So
> > kanns bin ich da nich mitgekommen ;)
Hast du (doom0852) einen Link zu dem Aufgabenblatt?
> Wenn ich dich richtig verstehe, hat der Tutor inzwischen
> eingesehen, dass seine "Lösung" falsch ist, glaubt jedoch
> nach wie vor, die Aufgabe sei lösbar? Hat er irgendetwas
> zu deiner Abgabe geschrieben? Ich nehme mal an, ihm ist
> nicht klar, dass jeder reelle Vektorraum, der mehr als ein
> Element hat, unendlich viele Elemente haben muss. Daher
> würde ich Folgendes ausdrucken und ihm vorlegen, um noch
> an die Punkte zu kommen:
>
> Jeder reelle Vektorraum V, der mehr als ein Element hat,
> hat unendlich viele Elemente:
>
> Sei [mm]v\in V[/mm] mit [mm]v\not=0[/mm]. Wir zeigen, dass die Vektoren
> [mm]a\cdot v[/mm], [mm]a\in\IR[/mm] paarweise verschieden sind.
>
> Denn angenommen [mm]a,b\in\IR[/mm] mit [mm]a\not=b[/mm] und [mm]a\cdot v=b\cdot v[/mm].
> Dann gilt [mm](a-b)\cdot v=0[/mm] und somit [mm]a-b=0[/mm] oder [mm]v=0[/mm]. [mm]a-b=0[/mm]
> kann nicht sein, da [mm]a\not=b[/mm] angenommen wurde. [mm]v=0[/mm] kann aber
> ebenfalls nicht sein, da [mm]v\not=0[/mm] gewählt wurde. Wir
> erhalten also einen Widerspruch.
>
> S hat für [mm]n\ge1[/mm] mehr als ein Element und nur endlich viele
> Elemente. Also kann S nicht mit der Struktur eines reellen
> Vektorraumes versehen werden.
Wenn in der Vorlesung nicht eine sehr komische (sprich: falsche) Definition von "reeller Vektorraum" vorkommt, so ist dieses Argument absolut korrekt.
Ich wuerde gern wissen, was der Tutor/Professor dazu sagt...
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mo 31.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Du kannst hier ruhig alle duzen!
> nach meinen Internetrecherchen ist der Begriff reeler
> Vektorraum weit verbreitet. Sind Sie sicher, dass ein
> Professor für ERstsemester auf dem ersten Übungsblatt
> eine unlösbare Aufgabe stellen würde,
Sicher nicht mit Absicht. Mir ist es auch ein Rätsel, wie diese Aufgabe zustande gekommen ist, zumal sie im Jahr 2010 schon einmal in einem Forum auftauchte. Meine einzige Erklärung wäre, dass möglicherweise die Vektorraumaxiome nicht explizit nachgerechnet wurden und dabei übersehen wurde, dass mindestens eines verletzt ist.
Sicherheitshalber lasse ich die Frage nur teilweise beantwortet und bitte um Bestätigung durch einen anderen User, dass diese Aufgabe nicht lösbar ist.
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