Vektorraum, Körper < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aufgabe 12: Sei $V = [mm] \IR^\IR$ [/mm] der Vektorraum der Abbildungen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$. [/mm] Seien U und
W die folgenden zwei Untervektorr¨aume:
$U := [mm] \{f \in \IR^\IR | f(-x) = f(x) \mbox{ für alle } x \in \IR}$
[/mm]
$W := [mm] \{f \in \IR^\IR | f(-x) = -f(x) \mbox{ für alle } x \in \IR}.$
[/mm]
Zeige, dass V die direkte Summe von U und W ist, d.h. V = U + W und $U [mm] \cap [/mm] W = {0}$,
wobei 0 die Nullabbildung in [mm] $\IR^\IR$ [/mm] ist.
Aufgabe 13:
(i) Bestimme eine Basis des folgenden Untervektorraumes:
[mm] $\mbox{lin}\left\{ \begin{pmatrix}1\\7\\4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\ \lambda \\ 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9\end{pmatrix} \right\} \subseteq \IR^3 [/mm] $
(als [mm] \$IR$-Vektorraum) [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $\lambda \in \IR$
[/mm]
.
(ii) Seien [mm] $p_1, p_2, p_3 \in \IR[/mm] [t]$ Polynome mit
[mm] $p_1(t) [/mm] = (t - 1)2$
[mm] $p_2(t) [/mm] = (t + 2)2$
[mm] $p_3(t) [/mm] = (t + 1)(t + 2)$.
Zeige, dass die Menge der Polynome [mm] $\{p_1, p_2, p_3\}$ [/mm] eine Basis des Vektorraumes aller
Polynome der Form $q(t) = [mm] a_2t^2 [/mm] + [mm] a_1t^1 [/mm] + [mm] a_0$ [/mm] mit [mm] $a_2, a_1, a_0 \in \IR$ [/mm] ist.
Aufgabe 14: Sei $n [mm] \in \IN, [/mm] p [mm] \in \IN$ [/mm] mit p prim, [mm] $\IZ_p [/mm] = [mm] \IZ/ [/mm] p [mm] \IZ$ [/mm] der Restklassenkörper mit p Elementen. Bestimme:
(i) die Anzahl der 1dimensionalen Untervektorräume von [mm] $(\IZ_p)^n$,
[/mm]
(ii) die Anzahl der Familien von Vektoren, die eine geordnete Basis (d.h. die Reihenfolge
der Vektoren spielt eine Rolle) des Vektorraumes [mm] $(\IZ_p)^n$ [/mm] bilden,
(iii) die Anzahl der kdimensionalen Untervektorräume von [mm] $(\IZ_p)^n$ [/mm] für $k [mm] \in \{0, \ldots , n\} [/mm] |
Vielleicht kann mir ja jemand sagen, was man genau in den aufgabenstellungen machen soll mit kleinen denkanstössen. normalerweise hole ich mir diese vom tutor, aber weil ich krank im bett liege geht das diese woche leider nicht. =(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
bitte poste die Aufgaben 13 und 14 in jeweils einem eigenen Thread.
Beachte unseren Formeleditor, Eingabehilfen findest Du unterhalb des Eingabefensters, Klick auf "Vorschau" liefert eine Voransicht.
Spaltenvektoren, [mm] \in [/mm] , [mm] \lambda, \IR [/mm] u.v.m. ist möglich.
Die Leserlichkeit ist auch in Deinem Interesse, man wird Dir i.d.R. schneller antworten.
> Aufgabe 12: Sei V = [mm]\IR^{\IR}[/mm] der Vektorraum der
> Abbildungen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR.[/mm] Seien U und
> W die folgenden zwei Untervektorr¨aume:
> U := [mm] \{f \in \IR^{\IR} | f(-x) = f(x) für alle x \in \IR\}
[/mm]
> W := [mm] \{f \in \IR^{\IR} | f(-x) = -;f(x) f¨ur alle x \in \IR\}.
[/mm]
> Zeige, dass V die direkte Summe von U und W ist, d.h. V =
> U + W und U \ W = {0},
> wobei 0 die Nullabbildung in [mm]\IR^{\IR}[/mm] ist.
Was die direkte Summe ist, wird in der Aufgabe ja schon gesagt:
1. Es ist die Summe
und
2. der Schnitt der beiden Summanden enthält nur die Null.
In U sind die Funktionen, die symmetrisch zur y-Achse sind, und in W die, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind.
Zeigen sollst Du nun, daß der Schnitt der beiden Unterräume nur aus der Null besteht, daß also die Nullfunktion die einzige ist, die beiden Symmetrien gleichzeitig aufweist.
Beweisen könntest Du das, indem Du annimmst, daß im Schnitt eine von dieser Funktion verschiedene Funktion liegt.
U+W=V beinhaltet zweierlei:
1. [mm] U+W\subseteq [/mm] V, und dies ist wirklich keine berauschende Neuigkeit.
2. V [mm] \subseteq [/mm] U+W, dh. jede Funktion aus V kann man schreiben als Summe einer achsen- und einer punktsymmetrischen.
Hier mußt Du etwas frickeln, mit kleinen Bildchen probieren oder was weiß ich.
Du sagst. sei f [mm] \in [/mm] V, und dann zeigst Du, aus welchen Funktionen man sich die zurechtaddieren kann.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Leider wurde nur die 1. aufgabe kommentiert. vielleicht kann noch jemand was zu den anderen sagen. bitte!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:58 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Leider wurde nur die 1. aufgabe kommentiert. vielleicht
> kann noch jemand was zu den anderen sagen. bitte!
Zitat Angela:
> bitte poste die Aufgaben 13 und 14 in jeweils einem eigenen Thread.
Eröffne für diese Aufgaben also bitte zwei neue Threads. Zu 13 (i) gebe ich Dir schonmal vorneweg den Hinweis, Dir Gedanken über lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit zu machen, bzw. Dich an den Satz zu erinnern: Eine Basis ist eine maximale Teilmenge linear unabhängiger Vektoren (bei endlichdimensionalen Vektorräumen über [mm] $\IR$). [/mm]
(Ich sehe z.B. sofort, dass für [mm] $\lambda=14$ [/mm] dieser lineare Span zweidimensional ist (Du musst natürlich nachrechnen, ob das das einzige ist, oder ob es auch noch andere [mm] $\lambda$ [/mm] gibt, so dass die drei Vektoren linear abhängig sind). Er ist übrigens stets mindestens zweidimensional (der erste und dritte Vektor sind offensichtlich linear unabhängig) und maximal dreidimensional (als Unterraum des dreidimensionalen [mm] $\IR^3$), [/mm] es ist also die Frage: Für welche [mm] $\lambda$ [/mm] sind die drei Vektoren linear abhängig, für welche linear unabhängig und dann kannst Du auch schon jeweils eine Basis angeben). Vielleicht hilft das ja schon als Denkanstoss.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
