Vektorraum, Basis, Koordinaten < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:50 So 20.06.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
bei Folgendem habe ich irgendwo einen Denkfehler, den ich nicht finden kann:
Angenommen ich habe einen Untervektorraum $\ U $ des $\ [mm] \IR^4 [/mm] $ mit $\ U = [mm] span(u_1,u_2,...,u_m) [/mm] $ und die Basis von $\ U $ besteht aus nun aus 3 Vektoren.
Also $\ dim \ U = 3 $. Nun ist ja $\ U $ zugleich ein Vektorraum und somit isomorph zum $ [mm] \IR^3 [/mm] $ bzgl der Abbildung $\ [mm] \kappa_B [/mm] : U [mm] \to \IR^3, [/mm] \ u [mm] \mapsto [u]_B [/mm] = [mm] \vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3} \in \IR^3 [/mm] $
Doch das funktioniert wiederum nicht, da jedes Element aus $\ U $ 4 komponenten hat.
Wo liegt mein Denkfehler? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Grüße
ChopSuey
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> Hallo,
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> bei Folgendem habe ich irgendwo einen Denkfehler, den ich
> nicht finden kann:
>
> Angenommen ich habe einen Untervektorraum [mm]\ U[/mm] des [mm]\ \IR^4[/mm]
> mit [mm]\ U = span(u_1,u_2,...,u_m)[/mm] und die Basis von [mm]\ U[/mm]
> besteht aus nun aus 3 Vektoren.
>
> Also [mm]\ dim \ U = 3 [/mm]. Nun ist ja [mm]\ U[/mm] zugleich ein
> Vektorraum und somit isomorph zum [mm]\IR^3[/mm] bzgl der Abbildung
> [mm]\ \kappa_B : U \to \IR^3, \ u \mapsto [u]_B = \vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3} \in \IR^3[/mm] [/u][/mm]
> [mm][u][/u][/mm]
> [mm][u]Doch das funktioniert wiederum nicht, da jedes Element aus [/u][/mm]
> [mm][u][mm]\ U[/mm] 4 komponenten hat.[/u][/mm]
Hallo,
in der Tat sind alle Elemente aus U Spaltenvektoren mit 4 Einträgen.
U ist ein VR mit der Basis [mm] B:=(u_1, u_2, u_3), [/mm] jedes Element eine Linearkombination dieser drei Vektoren.
Schreibst Du die Elemente dieses VRes U als Koordinatenvektoren bzgl B, dann haben sie natürlich drei Einträge.
U ist isomorph zum [mm] \IR^3.
[/mm]
Du hast jetzt U als Vektorraum behandelt.
Möchtest Du U in seiner Eigenschaft als Untervektorraum des [mm] \IR^4 [/mm] betrachten, so ist jeses Element von U eine Linearkombination von 4 Basisvektoren des [mm] \IR^4.
[/mm]
Ergänze [mm] (u_1, u_2, u_3) [/mm] durch einen Vektor v zu einer Basis B' des [mm] \IR^4.
[/mm]
Die Koordinatenvektoren der Elemente u von U haben die Gestalt [mm] [u]_{B'}=\vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3\\0}. [/mm] Damit hast Du Deine 4 Komponenten.
Am Isomorphismus zum [mm] \IR^3 [/mm] ändert das nichts.
[mm] \varphi: [/mm] U [mm] \to \IR^3
[/mm]
[mm] \lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3\mapsto \vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3} [/mm]
ist ein Isomorphismus.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 So 20.06.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Angela,
danke für die ausführliche Antwort!
Das hat mich gestern nicht mehr in Ruhe gelassen.
Grüße
ChopSuey
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