Vektorraum + Skalarmultiplik. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist folgendes:
[mm] \bar{V} [/mm] ist ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] mit gleicher abelscher Gruppe wie V, aber mit der Skalarmultiplikation [mm] (\alpha,v) \mapsto \bar{\alpha} [/mm] * v (Skalarmultiplikation in V).
Was ist richtig?
1.) V und [mm] \bar{V} [/mm] sind isomorph
2.) V und [mm] \bar{V} [/mm] haben die gleiche Dimension, sind aber wegen unterschiedlicher Skalarmultiplikation nicht isomorph
3.) Die Identität auf V ist ein Isomorphismus V [mm] \to \bar{V}
[/mm]
4.) Die Identität auf V ist kein Isomorphismus, aber wenn X eine Basis von V ist, dann ist X auch eine Basis von [mm] \bar{V} [/mm] und die Identität auf X definiert einen Isomorphismus V [mm] \to \bar{V} [/mm] |
Hallo,
ich bin mir bei der Aufgabe leider nicht schlüssig. Ich weiß, dass dim(V) = [mm] dim(\bar{V}) [/mm] gilt und die Endomorphismen von V und [mm] \bar{V} [/mm] übereinstimmen. Es kann ja von den Fragen her entweder 1.) oder 2.) bzw. 3.) oder 4.) richtig sein, ich brauche aber dazu Hilfe!
Dankeschön!
Liebe Grüße
Franziska
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 So 27.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Franziska!
> Gegeben ist folgendes:
> [mm]\bar{V}[/mm] ist ein Vektorraum über [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm] mit gleicher
> abelscher Gruppe wie V, aber mit der Skalarmultiplikation
> [mm](\alpha,v) \mapsto \bar{\alpha}[/mm] * v (Skalarmultiplikation
> in V).
>
> Was ist richtig?
> 1.) V und [mm]\bar{V}[/mm] sind isomorph
> 2.) V und [mm]\bar{V}[/mm] haben die gleiche Dimension, sind aber
> wegen unterschiedlicher Skalarmultiplikation nicht
> isomorph
> 3.) Die Identität auf V ist ein Isomorphismus V [mm]\to \bar{V}[/mm]
>
> 4.) Die Identität auf V ist kein Isomorphismus, aber wenn
> X eine Basis von V ist, dann ist X auch eine Basis von
> [mm]\bar{V}[/mm] und die Identität auf X definiert einen
> Isomorphismus V [mm]\to \bar{V}[/mm]
>
> ich bin mir bei der Aufgabe leider nicht schlüssig. Ich
> weiß, dass dim(V) = [mm]dim(\bar{V})[/mm] gilt und die
> Endomorphismen von V und [mm]\bar{V}[/mm] übereinstimmen.
Zwei Vektorraeume ueber dem gleichen Koerper sind genau dann isomorph, wenn ihre Dimensionen uebereinstimmen. Das sollte etwas ueber 1. und 2. aussagen.
> Es kann
> ja von den Fragen her entweder 1.) oder 2.) bzw. 3.) oder
> 4.) richtig sein, ich brauche aber dazu Hilfe!
Zu 3. und 4. musst du unterscheiden, ob $K = [mm] \IR$ [/mm] oder $K = [mm] \IC$ [/mm] ist. Wenn $K = [mm] \IR$ [/mm] ist, dann gilt [mm] $\overline{x} [/mm] = x$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] K$.
Wenn $K = [mm] \IC$ [/mm] ist, gebe ich dir als Tipp, dass 4. richtig ist. Versuche mal zu beweisen, warum dies der Fall ist. Nimm dir so eine Basis $X$ von $V$ und zeige, dass es auch eine Basis von [mm] $\bar{V}$ [/mm] ist. Und dann ueberlege, was der mysterioese letzte Satz mit der Identitaet auf $X$ bedeutet.
LG Felix
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Hallo,
danke Felix für die Tipps...
Wenn ich das kurz zusammenfassen darf:
1.) Richtig, das hatte ich mir anhand der Dimension ebenfalls schon gedacht.
2.) Falsch, da 1.) richtig. Die unterschiedliche Skalarmultiplikation ist irrelevant.
3.) Falsch, das gilt nur für den Körper der reellen Zahlen
4.) Richtig, das werde ich mir anhand deiner Hinweise morgen noch einmal klar machen...
Vielen lieben Dank für die Hilfe!
Herzliche Grüße
Franziska
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 So 27.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Franziska!
> danke Felix für die Tipps...
> Wenn ich das kurz zusammenfassen darf:
>
> 1.) Richtig, das hatte ich mir anhand der Dimension
> ebenfalls schon gedacht.
> 2.) Falsch, da 1.) richtig. Die unterschiedliche
> Skalarmultiplikation ist irrelevant.
Genau.
> 3.) Falsch, das gilt nur für den Körper der reellen
> Zahlen
Ja.
> 4.) Richtig, das werde ich mir anhand deiner Hinweise
> morgen noch einmal klar machen...
Genau.
> Vielen lieben Dank für die Hilfe!
Bitte!
LG Felix
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