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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Der Vektorraum [mm] \IK=\IK^1 [/mm] besitzt außer den beiden trivialen Teilräumen [mm] \{0\} [/mm] un [mm] \IK [/mm] keine weiteren Teilräume.
Ist nämlich W [mm] \subseteq \IK [/mm] ein Teilraum und W [mm] \not= \{0\}, [/mm] dann existiert w [mm] \in [/mm] W mit 0 [mm] \not= [/mm] w, also [mm] \lambda [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] * [mm] w^{-1}) [/mm] w [mm] \in [/mm] W für jedes [mm] \lambda \in \IK [/mm] und daher W [mm] =\IK [/mm] |
Hallo!
Obige ist aus meinem Skriptum, leider fehlt mir das Verständnis für den Beweis oben.
Ich vertstehe nicht wie man auf das hier kommt ->
[mm] \lambda [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] * [mm] w^{-1}) [/mm] w
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Mi 28.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Der Vektorraum [mm]\IK=\IK^1[/mm] besitzt außer den beiden
> trivialen Teilräumen [mm]\{0\}[/mm] un [mm]\IK[/mm] keine weiteren
> Teilräume.
> Ist nämlich [mm]W \subseteq \IK[/mm] ein Teilraum und [mm]W \not= \{0\},[/mm]
> dann existiert [mm]w \in W[/mm] mit [mm]0 \not= w[/mm], also [mm]\lambda = (\lambda * w^{-1}) w \in W[/mm] für jedes [mm]\lambda \in \IK[/mm] und
> daher [mm]W =\IK[/mm]
> Hallo!
> Obige ist aus meinem Skriptum, leider fehlt mir das
> Verständnis für den Beweis oben.
> Ich vertstehe nicht wie man auf das hier kommt ->
> [mm]\lambda = (\lambda * w^{-1}) w [/mm]
Deine Verwirrung kommt vermutlich daher, dass W einerseits als Vektorraum über dem Körper [mm] $\IK$, [/mm] andererseits als Teilmenge von [mm] $\IK$ [/mm] betrachtet wird.
Da [mm] $W\subseteq \IK$ [/mm] ist ($W$ als Teilmenge von [mm] $\IK$), [/mm] ist [mm] $w\in \IK$.
[/mm]
Nun ist [mm] $\IK$ [/mm] ja ein Körper, und daher existiert zu w auch ein inverses Element [mm] $w^{-1}$ [/mm] mit [mm] $w^{-1}*w [/mm] =1$. Mittels der Körperaxiome (insbesondere dem Distributivgesetz) ist für jedes [mm]\lambda \in \IK[/mm]:
[mm] \lambda = \lambda * 1 = \lambda *(w^{-1}*w) = (\lambda *w^{-1}) w [/mm] .
Nun ist [mm] $\mu:=\lambda *w^{-1} \in \IK$, [/mm] und da W auch ein Vektorraum über [mm] $\IK$ [/mm] ist, ist [mm] $\lambda=\mu w\in [/mm] W$. Da nun aber nach Voraussetzung [mm]\lambda \in \IK[/mm] beliebig, ist [mm] $W=\IK$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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