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Guten Abend euch allen!
Ich habe einige Beweise was Vektorräume betrifft. Bei den ersten 2. Beweisen weiß ich nicht wie man sie "zeigen" muss. Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen kann.
Sei A [mm] \in \gamma (\IR^2, \IR^m)
[/mm]
1.
Definiere [mm] N={x\in \IR^n | Ax=0}. [/mm] Beweise dass N ein Vektorraum ist.
2.
Ausserdem gelte Ax=0 nur dann, wenn x=0. Beweise dass A dann injektiv ist.
Schönen Abend noch und danke fürs Lesen schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Hier geht einiges durcheinander. Ich vermute mal, dass du bei der ersten Aufgabe zeigen sollst, dass der Kern $N$ einer linearen Abbildung [mm] $A:\IR^n \to \IR^m$ [/mm] ein Vektorraum ist.
Wegen $N [mm] \subset \IR^n$ [/mm] genügt es die Unterraumaxiome nachzuweisen.
Wegen $A0=0$ gilt: $0 [mm] \in [/mm] N$.
Sind [mm] $x,y\in [/mm] N$, so gilt: $Ax=0$ und $Ay=0$, also auch: $A(x+y) =Ax+Ay=0+0=0$ und somit $x+y [mm] \in [/mm] N$.
Jetzt versuche mal selber nachzuweisen, dass folgendes gilt:
$x [mm] \in [/mm] N,\ [mm] \lambda \in \IR \quad \Rightarrow \quad \lambda\, [/mm] x [mm] \in [/mm] N$.
Schaffst du das?
Jetzt zum zweiten Teil:
Zunächst folgt aus der Tatsache, dass $A$ injektiv ist, natürlich sofort:
$Ax=0 =A0 [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x=0$.
Es gelte nun umgekehrt:
$Ax=0 [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x=0$,
und wir wollen zeigen, dass $A$ dann injektiv ist.
Es seien [mm] $x,y\in \IR^n$ [/mm] beliebig gewählt mit
$Ax=Ay$,
also (beachte wiederum die Linearität von $A$):
$A(x-y)= Ax-Ay =0$.
Hast du eine Idee, wie daraus jetzt die Behauptung folgt?
Viele Grüße
Julius
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Danke dir!
Ich habe also
$ A(x-y)= Ax-Ay =0 $
=>x-y=0
<=> x=y
A ist injektiv.
Richtig?
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