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| Aufgabe | Sei [mm] \IF_{2} [/mm] der Körper mit 2 Elementen und [mm] \IF_{2}[x] [/mm] der Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten
aus [mm] \IF_{2}. [/mm] Wir betrachten die Abbildung [mm] \Phi [/mm] : [mm] \IF_{2}[x] \to F(\IF_{2},\IF_{2}), [/mm] die jedem Polynom
seine Polynomfunktion zuordnet. Zeigen Sie:
a) [mm] \Phi [/mm] ist surjektiv aber nicht injektiv
b) Ist die Menge [mm] \{f \in \IF_{2}[x]|\Phi(f)=0\}\subset\IF_{2}[x] [/mm] ein Untervektorraum? |
hallo,
ich habe einige Probleme die Aufgabe zu lösen und würde mich über ein wenig Hilfe sehr freuen.
Hat mein Körper [mm] \IF_2 [/mm] zwei bestimmte oder beliebige Elemente. Z.B. {a,b} oder {0,1}?
Wie kann ich mir die Abbildung vorstellen?
Wird meinem Polynom
[mm] a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n
[/mm]
wird über [mm] \lambda \to P(\lambda)
[/mm]
eine Polynomfunktion
[mm] a_0+a_1\lambda+...+a_n\lambda^n
[/mm]
zugeordnet?
Kann/muss ich die Polynome konkret angeben oder soll ich sie allgemein behandeln?
viele grüße
richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Di 19.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hat mein Körper [mm]\IF_2[/mm] zwei bestimmte oder beliebige
> Elemente. Z.B. {a,b} oder {0,1}?
Öhm, wie meinst du das? Irgendwie ist der Körper ja definiert, und damit die zwei Elemente auch konkret angegeben. So konkret wie die Elemente von [m]\IR[/m] angegeben sind.
> Wie kann ich mir die Abbildung vorstellen?
Du hast ein Polynom P - das ist erstmal ein formaler Ausdruck. Nun ordnest du dem Polynom die Einsetzungs-Funktion zu, dh [m]P\mapsto (x\mapsto P(x))[/m]
> Wird meinem Polynom
> [mm]a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n[/mm]
> wird über [mm]\lambda \to P(\lambda)[/mm]
> eine Polynomfunktion
> [mm]a_0+a_1\lambda+...+a_n\lambda^n[/mm]
> zugeordnet?
Ja sozusagen.
> Kann/muss ich die Polynome konkret angeben oder soll ich
> sie allgemein behandeln?
Es ist eine Aussage über die Menge aller Polynome - nicht über einzelne Polynome.
SEcki
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hallo secki,
Im Tutorium wurde erwähnt das zu dem Körper [mm] \IF_2 [/mm] genau die Elemente {0,1} gehören. Bin mir aber nicht sicher, ob das stimmt.
kannst du mir vielleicht einen tipp geben, wie ich aufgabenteil a) angehen kann?
gruß
richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mi 20.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Im Tutorium wurde erwähnt das zu dem Körper [mm]\IF_2[/mm] genau
> die Elemente {0,1} gehören.
Wie habt ihr den den Körper defineirt?
> Bin mir aber nicht sicher, ob
> das stimmt.
Doch, es gibt in jedem Körper eine 1 und eine 0 - im zweielementigen Körper also genau die beiden Elemente.
> kannst du mir vielleicht einen tipp geben, wie ich
> aufgabenteil a) angehen kann?
Schreib mal alle Funktionen auf (wieviele sind es denn?), dann versuche mal schematisch dafür Polynomezu basteln. Du kannst es dir auch ganz allegemien übelegen: wie sieht ein Polynom auf, dass für 1 einen beliebigen Wert hat, aber für 0 immer 0? Wie sieht eins aus, dass für 0 beliebig, für 1 immer 0 ist? Die kannst du dann ja addieren ... für das icht injektiv - wieviele Elemente hat die linke Seite? Wieviele die rechte?
SEcki
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hallo,
mein Polynom P(x) = [mm] a_0+a_1x+...+a_nx^n [/mm] für [mm] \IF_2[x]
[/mm]
sieht dann so aus:
[mm] \IF_2[x]=a_0+a_1x+...+a_nx [/mm] bzw.
[mm] \IF_2[x]=a_0+a_1+...+a_n
[/mm]
ist das ok?
gruß
richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Mi 20.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> mein Polynom P(x) = [mm]a_0+a_1x+...+a_nx^n[/mm] für [mm]\IF_2[x][/mm]
Also ein Element von [mm]\IF_2[x][/mm] ist ein Polynom, das allgemein wie P aussieht.
> sieht dann so aus:
>
> [mm]\IF_2[x]=a_0+a_1x+...+a_nx[/mm] bzw.
> [mm]\IF_2[x]=a_0+a_1+...+a_n[/mm]
Wie bitte? Wieso das denn? Ein Polynom P sieht so aus: [mm]a_0+a_1x+...+a_nx^n[/mm]. Wie komsmt du denn auf diese "Darstellungen"? Was hast du dir denn dabei gedacht? Vielleicht kriegen wir ja so raus, wo es hapert.
SEcki
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hallo secki,
tut mir leid, dass ich so einen Mißt schreibe, aber wenn man keine Ahnung hat, kann das schon mal passieren 
Ok, ich vermute mal, mein grundsätzliches Problem ist die formale Schreibweise und im besonderen die Abbildungsvorschrift,
[mm] \Phi: [/mm] $ [mm] \IF_{2}[x] \to F(\IF_{2},\IF_{2}), [/mm] $
die ich noch nicht verstanden habe.
zur ersten Frage: zu meinem Vektorraum [mm] \IF_2[x] [/mm] gehören gewisse Polynome vom Typ: [mm] a_0+a_1x+...+a_nx^n
[/mm]
nun sagt mir der Index 2 [mm] (\IF_{\red2}[x]), [/mm] dass mein Vektorraum nur bestimmte (welche?) Polynome enthält.
die andere Frage lautet: Und wie kann ich mir dann diese Abbildung [mm] \Phi [/mm] und insbesondere den Teil [mm] F(\IF_2,\IF_2) [/mm] vorstellen.
für deine geduld vielen dank,
gruß
richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mi 20.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> zur ersten Frage: zu meinem Vektorraum [mm]\IF_2[x][/mm] gehören
> gewisse Polynome vom Typ: [mm]a_0+a_1x+...+a_nx^n[/mm]
So sieht ein Polynom aus, ja.
> nun sagt mir der Index 2 [mm](\IF_{\red2}[x]),[/mm] dass mein
> Vektorraum nur bestimmte (welche?) Polynome enthält.
Aha, da liegt dein Denkfejler - in [mm]\IF_2[x][/mm] sind alle Polynome von der Form [mm]a_0+a_1x+...+a_nx^n[/mm], wobei aber [m]a_i\in\IF_2[/m] gilt, also die [m]a_i[/m] entweder 0 oder 1 sind (in diesem speziellen Fall), also zB [m]X^9+X^5+X^3+X+1\in \IF_2[X][/m]. Ein Polynom ist eben ein formaler Ausdruck in der Form [mm]a_0+a_1x+...+a_nx^n[/mm], und keine Abbildung.
> die andere Frage lautet: Und wie kann ich mir dann diese
> Abbildung [mm]\Phi[/mm] und insbesondere den Teil [mm]F(\IF_2,\IF_2)[/mm]
> vorstellen.
Also [mm]F(\IF_2,\IF_2)[/mm] ist die Menge aller Abbildungen von [mm]\IF_2[/mm] nach [mm]\IF_2[/mm] - schreib die mal alle hin, wieviele gibt es denn da?
Und [mm]\Phi[/mm] macht aus dem abstraken Konstrukt des Polynoms eine Funktion von [mm]\IF_2[/mm] nach [mm]\IF_2[/mm], zB ordnet es obigen Polynom die Abbildung [m]f:y\mapsto y^9+y^5+y^3+y+1[/m] zu, nun ist [m]f(0)=1[/m] und [m]f(1)=1[/m] als Abbildung. Findest nun für jede Abbildung ein entsprechendes Polynom?
SEcki
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hallo secki,
wenn also die [mm] a_i\in \IF_2 [/mm] entweder nur 0 oder 1 sein können, dann haben die Polynomfunktionen folgende Form:
a=1: [mm] P(x)=1+x+x^2+...+x^n
[/mm]
oder
a=0: P(x)=0
> Also $ [mm] F(\IF_2,\IF_2) [/mm] $ ist die Menge aller Abbildungen von [mm] \IF_2 [/mm] nach
> [mm] \IF_2 [/mm] - schreib die mal alle hin, wieviele gibt es denn da?
da [mm] \IF_2 \in [/mm] {0,1} kann es nur folgende Abbildungen geben:
0 [mm] \to [/mm] 0, 0 [mm] \to [/mm] 1, 1 [mm] \to [/mm] 0, 1 [mm] \to [/mm] 1
(vermutlich ist das formal nicht korrekt)
> Und [mm]\Phi[/mm] macht aus dem abstraken Konstrukt des Polynoms
> eine Funktion von [mm]\IF_2[/mm] nach [mm]\IF_2[/mm], zB ordnet es
> obigen Polynom die Abbildung [m]f:y\mapsto y^9+y^5+y^3+y+1[/m]
> zu, nun ist [m]f(0)=1[/m] und [m]f(1)=1[/m] als Abbildung. Findest nun
> für jede Abbildung ein entsprechendes Polynom?
bezieht sich das f(1)=1 auf [mm] f:y\mapsto y^9+y^5+y^3+y+1?
[/mm]
warum ist das so? das kann ich nicht nachvollziehen.
hoffentlich bekommen wir mein Unverständnis noch in den Griff
gruß
richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Fr 22.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> hallo secki,
>
> wenn also die [mm]a_i\in \IF_2[/mm] entweder nur 0 oder 1 sein
> können, dann haben die Polynomfunktionen folgende Form:
>
> a=1: [mm]P(x)=1+x+x^2+...+x^n[/mm]
> oder
> a=0: P(x)=0
Nein. Es gibt zB auch [m]1+x^2[/m]
> da [mm]\IF_2 \in[/mm] {0,1} kann es nur folgende Abbildungen geben:
> 0 [mm]\to[/mm] 0, 0 [mm]\to[/mm] 1, 1 [mm]\to[/mm] 0, 1 [mm]\to[/mm] 1
> (vermutlich ist das formal nicht korrekt)
Öhm, formal ist das nicht - was soll das denn nicht formal überhaupt sein?
> bezieht sich das f(1)=1 auf [mm]f:y\mapsto y^9+y^5+y^3+y+1?[/mm]
Ja.
> warum ist das so? das kann ich nicht nachvollziehen.
Einsetzen, ausrechnen. Benutze dabei [m]1+1=0[/m].
> hoffentlich bekommen wir mein Unverständnis noch in den
> Griff
Gut DIng will Weile haben.
SEcki
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hallo,
wenn ich all meine Polynome aus [mm] \IF_2[x] [/mm] mit Koeffizienten aus [mm] \IF_2 [/mm] füttere, nämlich entweder a=1 oder a=0,wie kann denn dann soetwas wie [mm] 1+x^2 [/mm] herauskommen? Das sieht ja fast so aus, als würde man da etwas
abschneiden. wie schafft man es, die polynomfunktion [mm] 1+x^2 [/mm] zu erzeugen?
gruß
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Fr 22.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> hallo,
>
> wenn ich all meine Polynome aus [mm]\IF_2[x][/mm] mit Koeffizienten
> aus [mm]\IF_2[/mm] füttere, nämlich entweder a=1 oder a=0,wie kann
> denn dann soetwas wie [mm]1+x^2[/mm] herauskommen?
Du solltest dir nochmal die Def. von Polynomen anschauen!
> Das sieht ja fast
> so aus, als würde man da etwas
> abschneiden. wie schafft man es, die polynomfunktion [mm]1+x^2[/mm]
> zu erzeugen?
[m]1+0*x+1*x^2[/m]
SEcki
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du kombinierst also die koeffizientenwerte(a=1 und a=0, usw.) und lässt sie auf das polynom los? ich war der meinung, man entscheidet sich für einen koeffizient und weiß ihn dann dem polynom zu. ich bin verwirrt.
und wieviele möglichkeiten gibt es nun mit den möglichen zwei koeffizienten polynomfunktionen zu erzeugen?vermutlich endlich viele,damit ich aufgabenteil a) lösen kann.
gruß
richard
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ich muss gestehen, dass ich den Begriff des Körpers noch nicht ganz verstanden habe. ich kenne zwar die definition usw. aber wie z.b. mit einem körper,der nur 2 elemente hat, umzugehen ist, bleibt mir noch rätselhaft. vermutlich komm ich deshalb bei dieser aufgabe auf keinen grünen zweig...
gruß
richard
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Fr 22.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich muss gestehen, dass ich den Begriff des Körpers noch
> nicht ganz verstanden habe. ich kenne zwar die definition
> usw. aber wie z.b. mit einem körper,der nur 2 elemente
> hat, umzugehen ist, bleibt mir noch rätselhaft. vermutlich
> komm ich deshalb bei dieser aufgabe auf keinen grünen
> zweig...
Das ist nur ein Puzzelstück. Du rechnest in dem Körper mit der 0 und 1 wie du es gewohnt bist, dh [m]0+1=1[/m], gilt ja "sonst" auch. Die einzige wirkliche Frage die bleibt: Was ist 1+1? Und das ist eben 0. So viel für den Anfang der schönen endlichen Körper.
SEcki
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kannst du mir kurz erklären, warum im Körper [mm] \IF_2 [/mm] 1+1=0 ergibt? Naja, dass es nicht zwei sein kann ist klar, aber warum nicht 1. Gibt es eine Vorschrift,die das genau definiert?
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:32 Sa 23.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> kannst du mir kurz erklären, warum im Körper [mm]\IF_2[/mm] 1+1=0
> ergibt? Naja, dass es nicht zwei sein kann ist klar, aber
> warum nicht 1. Gibt es eine Vorschrift,die das genau
> definiert?
Ja, irgendwo habt ihr das auch definiert, oder? Falls [m]1+1=1[/m] wäre, dann wäre [m]1=0[/m], Widerspruch, im Übrigen.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Fr 22.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> du kombinierst also die koeffizientenwerte(a=1 und a=0,
> usw.) und lässt sie auf das polynom los?
Bitte was?
> ich war der
> meinung, man entscheidet sich für einen koeffizient und
> weiß ihn dann dem polynom zu. ich bin verwirrt.
Das ist falsch. Wie kommst du darauf? Hast du schonmal woanders Polynome gesehen?
> und wieviele möglichkeiten gibt es nun mit den möglichen
> zwei koeffizienten polynomfunktionen zu erzeugen?vermutlich
> endlich viele,damit ich aufgabenteil a) lösen kann.
Nein, unendlich viele. Eben damit du a) lösen kannst.
SEcki
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mir ist klar, wie polynome aussehen.
vielleicht versuche ich dir mal zu beschreiben, was ich für eine Vorstellung in meinem kopf habe.
wenn ich mir die abbildungsvorschrift anschaue, dann kann ich mir sowas vorstellen:
[mm] \Phi: \IF_2[x] \to F(\IF_2,\IF_2)
[/mm]
z.B.: [mm] a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n \to x^4+x^3+1
[/mm]
und was mir aber dabei unklar ist, wie kann es sein, dass für ein polynom, dem ich den koeffizienten a=0 per abbildungsvorschrift zweise z.b. die polynomfunktion [mm] x^2+1 [/mm] bekomme? wo ist denn da mein denkfehler, dass ich das nicht einehen mag?
und was genau bedeutet [mm] F(\IF_2,\IF_2)?
[/mm]
z.b.: F(0,1) , heißt das f(0)=1, für z.b. [mm] f:x^2+1?
[/mm]
gruß
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:29 Sa 23.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> mir ist klar, wie polynome aussehen.
Sei mir nicht böse, aber was du geschrieben hast sah nicht so aus.
> wenn ich mir die abbildungsvorschrift anschaue, dann kann
Polynome sind keine Abbildungsvorschrift - mach dir das als erstes klar! Und die ominöse Abbildung macht aus dem Polynom eben eine
Abbildungsvorschrift.
> ich mir sowas vorstellen:
> [mm]\Phi: \IF_2[x] \to F(\IF_2,\IF_2)[/mm]
> z.B.:
> [mm]a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n \to x^4+x^3+1[/mm]
Nein, ein Beispiel wäre: aus [m]p=x^4+x^3+1\in \IF_2[x][/m] wird die Abbildung [m]\phi(p): \IF_2\to \IF_2, y\mapsto p(y)=y^4+y^3+1[/m].
> und was mir aber
> dabei unklar ist, wie kann es sein, dass für ein polynom,
> dem ich den koeffizienten a=0 per abbildungsvorschrift
> zweise z.b. die polynomfunktion [mm]x^2+1[/mm] bekomme?
Häh? Welches a? Woher kommt das?
> wo ist denn
> da mein denkfehler, dass ich das nicht einehen mag?
Ich verstehe nicht, was du hier machst.
> und was genau bedeutet [mm]F(\IF_2,\IF_2)?[/mm]
Die Menge aller Abildungen von [mm]\IF_2[/mm] nach [mm]\IF_2[/mm].
> z.b.: F(0,1) , heißt das f(0)=1, für z.b. [mm]f:x^2+1?[/mm]
Äh, nein, das F ist eine Menge, ihre Elemente sind Funktionen.
SEcki
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hallo secki,
du nanntest als Beispiel der Abbildung [mm] \Phi:
[/mm]
$ [mm] \phi(p): \IF_2\to \IF_2, y\mapsto p(y)=y^4+y^3+1 [/mm] $
$ [mm] \phi(p): \IF_2\to \IF_2, y\mapsto p(y)=a_0+a_1y+a_2y^2+...+a_ny^n [/mm] $
das sind jetzt allgemein gesprochen alle abbildungen die möglich sind?
und a sei mein koeffizient, der aus [mm] \IF_2 [/mm] kommt, also ein koeffizient der 0 oder 1 sein kann, oder nicht? und damit ergeben sich dann unendlich viele abbildungen?
in aufgabe a) soll man zeigen, dass [mm] \Phi [/mm] surjektiv ist.
dass also jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird
meine zielmenge ist doch die menge aller abbildungen, nämlich $ [mm] F(\IF_2,\IF_2)? [/mm] $ und ein element dieser menge wäre irgendeine polynomfunktion, z.b. [mm] p(y)=y^7+y^5+y^2+1?
[/mm]
und dieses p(y) ist ja selbst wieder [mm] \in \IF_2?
[/mm]
und kann somit nur die funktionswerte 0 oder 1 annehmen?
als hinweis für augabe a) hattest du mir bereits folgendes geantwortet:
> Schreib mal alle Funktionen auf (wieviele sind es denn?), dann versuche > mal schematisch dafür Polynomezu basteln.
es sind also unendlich viele polynomfunktionen möglich?
wie kann ich dafür schematisch polynome basteln , was genau meinst du
damit?
> Du kannst es dir auch ganz > allegemien übelegen: wie sieht ein Polynom auf, dass für 1 einen
> beliebigen Wert hat, aber für 0 immer 0? Wie sieht eins aus, dass für 0 beliebig, für 1 immer 0 ist? Die kannst du dann ja addieren
auch damit kann ich leider noch nichts anfangen
gruß
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Sa 23.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> du nanntest als Beispiel der Abbildung [mm]\Phi:[/mm]
> [mm]\phi(p): \IF_2\to \IF_2, y\mapsto p(y)=y^4+y^3+1[/mm]
>
> [mm]\phi(p): \IF_2\to \IF_2, y\mapsto p(y)=a_0+a_1y+a_2y^2+...+a_ny^n[/mm]
>
> das sind jetzt allgemein gesprochen alle abbildungen die
> möglich sind?
Alle Abbildungen, die im Bild von [m]\phi[/m] liegen. Diese müssen aber nicht paarweise verschieden sein.
> und a sei mein koeffizient, der aus [mm]\IF_2[/mm] kommt, also ein
> koeffizient der 0 oder 1 sein kann, oder nicht?
Was ist a? Meinst du die verschiedenen [m]a_i[/m]? Dann ja.
> und damit
> ergeben sich dann unendlich viele abbildungen?
Nein, eben nicht - unendlch viele Polynome, aber nicht unendlich viele Abbildungen.
> in aufgabe a) soll man zeigen, dass [mm]\Phi[/mm] surjektiv ist.
> dass also jedes Element der Zielmenge mindestens einmal
> als Funktionswert angenommen wird
> meine zielmenge ist doch die menge aller abbildungen,
> nämlich [mm]F(\IF_2,\IF_2)?[/mm]
Ja.
> und ein element dieser menge wäre
> irgendeine polynomfunktion, z.b. [mm]p(y)=y^7+y^5+y^2+1?[/mm]
Nein - also nicht a priori. Funktionne bestimmt man allgemein dadurch, das man sagt, worauf die Elemente gehen, also wenn h meine Funktion ist, muss ich [m]h(0)[/m] und [m]h(1)[/m] festlegen.
> und dieses p(y) ist ja selbst wieder [mm]\in \IF_2?[/mm]
> und kann
> somit nur die funktionswerte 0 oder 1 annehmen?
Ja.
> es sind also unendlich viele polynomfunktionen möglich?
Polynome: ja; Aber als tatsächlich Funktionen? Nein, da gibt es nur endlich viele.
> wie kann ich dafür schematisch polynome basteln , was
> genau meinst du
> damit?
Einfach mal rumprobieren - es gibt 4 Funktionen in [m]F(\IF_2,\IF_2)[/m] (das solltest du mal zeigen)
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Sa 23.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> auch damit kann ich leider noch nichts anfangen
Okay, mal nen andrer Versuch: Sei [m]P(x)=x^3+x^2+x+1[/m] und [m]Q(x)=x+1[/m]. Als Polynome gilt [m]P\neq Q[/m], wenn man jetzt aber [m]P(0),P(1),Q(0),Q(1)[/m] berechnet als Polynomfunktion (also nachdem [m]\phi[/m] angewendet wurde!) fällt was auf? Damit sind P und Q als Funktionen aber - gleich!
SEcki
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