Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Wir haben hier einen Satz, der besagt, dass jeder Vektorraum V eine Basis besitzt.
Und der Beweis verläuft so, dass wir aus V ein endliches Erzeugendessystem rausnehmen, und da alle linear abhängigen Vektoren rausschmeißen.
Aber hat denn wirklich jeder Vektorraum ein Erzeugendensystem? Wenn ja, woher weiß ich das?
LG, Nadine
|
|
| |
|
Ein Erzeugendensystem des Vektorraums V ist eine (i.a. Unter-)Menge von Vektoren aus V, deren alle möglichen Linearkombinationen alle Vektoren aus V ergeben.
An folgendem Beispiel kannst du schon alles erkennen:
Der Vektorraum V mit den Vektoren (x|x|k); [mm] x,k\in \IR [/mm] (der Einfachheit halber schreibe ich mal Zeilen statt Spalten) lässt sich schreiben als x*(1|1|0)+k*(0|0|1) und wird daher durch (1|1|0) und (0|0|1) erzeugt. Wenn ich das aber nicht weiß/sehe, was dann?
Zunächst kannst du hingehen und V selber als Erzeugendensystem nehmen. Dann wird jeder Vektor (x|x|k)=1*(x|x|k) als Linearkombination erzeugt.
Also hat jeder Vektorraum ein Erzeugendensystem, nämlich sich selbst!
Nun kannst du für irgendeinen Vektor überlegen, ob er nicht als Linearkombination von anderen erzeugt werden kann. In unserem Beispiel: Alle Vektoren der Form (x|x|k)=1*(x|x|0)+1*(0|0|k) lassen sich durch (x|x|0) und (0|0|k) erzeugen. Also wirfst du jetzt aus deinem Erzeugendensystem alle Vektoren heraus bis auf die "Erzeuger" selber. In meinem Beispiel wären das alle (x|x|0) und alle (0|0|k). Es würden so noch unendlich viele Vektoren übrigbleiben . Irgendwann merke ich aber (hoffentlich), dass ich dafür schreiben kann (x|x|0)=x*(1|1|0) und (0|0|k)= k*(0|0|1). Also kann ich alle Vektoren herauswerfen und muss nur noch (1|1|0) und (0|0|1) übrig behalten.
Auf diese Weise kann ich mir immer weitere Vektoren einsparen, bis ich feststelle, dass man irgendwann auf keinen Vektor mehr stößt, der durch die restlichen verbliebenen ausgedrückt werden kann. Dann habe ich ein linear unabhängiges Erzeugendensystem und damit eine Basis.
Im "schlimmsten Fall" ist also der Vektorraum selbst seine eigene Basis.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Danke für deine Hilfe!
|
|
|
|
