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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mi 02.02.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi Leute
Ich hab die aufgabe
Es sei [mm] (v_{i})_{i\inI} [/mm] eine linear abhängige Familie von Vektoren [mm] v_{i} [/mm] des K-Vektorraumes V .
Wir setzen voraus, dass die Indexmenge I mindestens zwei Elemente hat. Beweisen Sie die folgende Behauptung.
Es existieren ein i [mm] \in [/mm] I sowie Zahlen [mm] a_{j} \in [/mm] K, [mm] a_{j} [/mm] = 0 für fast alle j [mm] \in [/mm] I, so dass [mm] v_{i}=\summe_{j \in I-\{i\}} a_{j}v_{j} [/mm] ist.
Kann mir da jemand weiter helfen, ich hab keine idee, wie ich das beweisen kann.
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Do 03.02.2005 | | Autor: | Nam |
Hallo Thomas,
ich nehme an, du meinst [mm]a_j \not= 0[/mm] für fast alle [mm]j \in I[/mm].
Die Behauptung sagt nichts anderes als dass es einen Vektor [mm]v_k \not=0 \in \{v_i\}_{i \in I}[/mm] gibt, der sich als Linearkombination der restlichen Vektoren aus [mm] \{v_i\}_{i \in I}\backslash\{v_k\} [/mm] darstellen lässt.
Wenn du die z. B. Menge [mm]\{v_1, v_2, v_3\}[/mm] hast, die linear abhängig ist, muss sich also mindestens einer (nicht notwendigerweise alle!) dieser Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lassen. Also z. B. [mm]v_2 = a_2 v_2 + a_3 v_3[/mm]
Nun ist die Definition der linearen Abhängigkeit:
eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, genau dann wenn es Koeffizienten gibt, die nicht alle gleich 0 sind, so dass sich der Nullvektor als Linearkombination der Vektoren mit eben diesen Koeffizienten darstellen lässt, d. h. [mm]\exists ~~ a_1, ..., a_N: a_1*v_1 + a_2*v_2 + ... + a_N*v_N = 0[/mm], wobei mindestens ein Koeffizient ungleich 0 ist.
Nun kannst du o. B. d. A. annehmen, dass z. B. der erste der Vektoren durch die anderen darstellbar ist, indem du nach [mm]v_1[/mm] umformst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Do 03.02.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> ich nehme an, du meinst [mm]a_j \not= 0[/mm] für fast alle [mm]j \in I[/mm].
Nein, ermeint wohl sicher, was er geschrieben hat - deine Definition klemmt sofort wenn I unendlich wird (vor allem überabzählbar). Du brauchst ja jeweils nur endl. viele Vektoren von I um den einen Vektor darzustellen.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Do 03.02.2005 | | Autor: | Hexe |
Stimmt es müssen fast alle =0 sein, das ändert aber nichts an der Richtigkeit vom Rest der Lösung oder irre ich mich. Linear Abhängig heisst es lässt sich mit endlich vielen von Null verschiedenen Koeffizienten die Null darstellen und durch Umformung erhält man die Darstellung von [mm] v_i.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Fr 04.02.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi Leute
Irgendwie weiß ich gar nicht so recht, was ich da beweisen soll.
Also was das [mm] v_{i} [/mm] = Summe aussagt...
deshalb versteh ich auch nicht so recht was ihr da eigentlich macht..
Thomas
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