Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:43 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | a) Es seien (IK,+.*) ein Körper , A eine nicht leere Menge und [mm] (F,\oplus) [/mm]
abelsche Gruppe aller Funktionen f : D [mm] \to \IK [/mm] mit der
punktweisen Addition
f [mm] \oplus [/mm] g : [mm] =\begin{cases} D \to \IK \\ x\mapsto (f \oplus g)(x):=f(x)+ g(x)\end{cases}
[/mm]
(f,g [mm] \in [/mm] F)
Nun werde noch die äußere Verknüpfung * : [mm] \IK [/mm] x F [mm] \to [/mm] F erklärt durch
[mm] (\lambda [/mm] * f )(x) := [mm] \lambda [/mm] * f(x) ( f [mm] \in [/mm] F , [mm] \lambda \in \IK, [/mm] a [mm] \in [/mm] A )
Untersuchen Sie , ob [mm] (F,\oplus,*) [/mm] ein Vektorraum über [mm] \IK [/mm] ist.
b) Behandeln Sie nochmals Teil (a) , wobei D =K und(1) ersetzt wird durch
[mm] (\lambda [/mm] * f [mm] )(x):=f(\lambda [/mm] * x) (f [mm] \in [/mm] F , [mm] \lambda \in \IK [/mm] , x [mm] \in\IK)
[/mm]
|
Hallo ,
Also zunächst ist ein Vektorraum eine Menge mit eine inneren Verknüpfung
+ ( Addition )
und * ( Multiplikation) ( aüßere Verknüpfung mit skalar)
diese beiden verknüpfungen gibt die aufgabe ja schon an
(siehe aufgabenstellung)
weiter muss gellten
V1:
V zusammen mit addition abelsche Gruppe ( gibt aufgabe auch an )
neutrales element ist Nullvektor
e* f(x) = f(x) * e = f(x)
[mm] \oplus [/mm] ist die innere Verknüpfung
mit x [mm] \mapsto [/mm] (f [mm] \oplus [/mm] g)(x) := f(x) + g(x)
mit der gegebenen voraussetzng abelsch
f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = f(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] g(x) = f(x) - f(x) = 0 ( Nullvektor ) = e
Das Negative wird mit -v bezeichnet
f(x) + h(x) = 0 [mm] \in (F,\oplus,*) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] h(x) = - f(x)
V2
Die Multiplikation mit Skalaren muss in folgender Weise mit den anderen
Verknüpfungen verträglich sein:
assoziativ.
Hilfe : Vektorraum kist ja Gruppe und Grujppe ist assoziativ
aber hier sind skalare aus K mit im Spiel , wie mch ich das ??
Wie zei ich noch erforderliche Ditributivität
Ist das bisherige überhaupt richtig ??
Ich brauch noch ganz schön Durchblick oder ????
habt Dank für Rat
Gruß
Thomas
|
|
| |
|
Hallo Thomas,
ich kapiere überhaupt gar nicht so recht, was du da machst.
Weißt du, was du zeigen musst?
Schreibe dir als erstes mal die ganzen Vektorraumaxiome auf.
Da die Aufgabe schon vorgibt, dass [mm] $(F,\oplus)$ [/mm] ne abelsche Gruppe ist, hast du schon die Hälfte geschenkt bekommen.
Du musst einzig noch die Axiome zeigen, die die Multiplikation mit den Skalaren [mm] $\in\IK$ [/mm] regeln
Zu deinen Ausführungen:
> a) Es seien (IK,+.*) ein Körper , A eine nicht leere Menge
> und [mm](F,\oplus)[/mm]
> abelsche Gruppe aller Funktionen f : D [mm]\to \IK[/mm] mit der
> punktweisen Addition
>
> f [mm]\oplus[/mm] g : [mm]=\begin{cases} D \to \IK \\ x\mapsto (f \oplus g)(x):=f(x)+ g(x)\end{cases}[/mm]
>
> (f,g [mm]\in[/mm] F)
>
> Nun werde noch die äußere Verknüpfung * : [mm]\IK[/mm] x F [mm]\to[/mm] F
> erklärt durch
>
> [mm](\lambda[/mm] * f )(x) := [mm]\lambda[/mm] * f(x) ( f [mm]\in[/mm] F , [mm]\lambda \in \IK,[/mm]
> a [mm]\in[/mm] A )
>
> Untersuchen Sie , ob [mm](F,\oplus,*)[/mm] ein Vektorraum über [mm]\IK[/mm]
> ist.
>
> b) Behandeln Sie nochmals Teil (a) , wobei D =K und(1)
> ersetzt wird durch
>
> [mm](\lambda[/mm] * f [mm])(x):=f(\lambda[/mm] * x) (f [mm]\in[/mm] F , [mm]\lambda \in \IK[/mm]
> , x [mm]\in\IK)[/mm]
>
>
>
>
>
>
> Hallo ,
> Also zunächst ist ein Vektorraum eine Menge mit eine
> inneren Verknüpfung
> + ( Addition )
> und * ( Multiplikation) ( aüßere Verknüpfung mit skalar)
>
> diese beiden verknüpfungen gibt die aufgabe ja schon an
> (siehe aufgabenstellung)
>
> weiter muss gellten
>
> V1:
>
> V zusammen mit addition abelsche Gruppe ( gibt aufgabe auch
> an )
Hier musst du gar nix zeigen, das gibt doch die Aufgabenstellung vor
> neutrales element ist Nullvektor ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber: dir scheint nicht klar zu sein, was der Nullvektor ist.
Der (vermeintliche) VR F enthält als Vektoren FUNKTIONEN, also ist der Nullvektor hier eine Funktion, die NULLFUNKTION, die "alles auf 0 abbildet", nennen wir sie
[mm] $n:D\to\IK, [/mm] n(x)=0$ für alle [mm] $x\in [/mm] D$
>
> e* f(x) = f(x) * e = f(x)
>
> [mm]\oplus[/mm] ist die innere Verknüpfung
>
> mit x [mm]\mapsto[/mm] (f [mm]\oplus[/mm] g)(x) := f(x) + g(x)
>
> mit der gegebenen voraussetzng abelsch
>
> f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = f(x)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] g(x) = f(x) - f(x) = 0 ( Nullvektor ) = e
>
> Das Negative wird mit -v bezeichnet
Wo taucht v später wieder auf?
Du solltest konsistenter aufschreiben
>
> f(x) + h(x) = 0 [mm]\in (F,\oplus,*)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] h(x) = - f(x)
Wie gesagt, das ist alles überflüssig
> V2
> Die Multiplikation mit Skalaren muss in folgender Weise
> mit den anderen
> Verknüpfungen verträglich sein:
>
> assoziativ.
>
> Hilfe : Vektorraum kist ja Gruppe und Grujppe ist
> assoziativ
> aber hier sind skalare aus K mit im Spiel , wie
> mch ich das ??
>
>
> Wie zei ich noch erforderliche Ditributivität
>
>
>
> Ist das bisherige überhaupt richtig ??
>
> Ich brauch noch ganz schön Durchblick oder ????
>
> habt Dank für Rat
Es bleiben genau 4 Axiome zu zeigen, die eben genau die Verträglichkeit mit der Multiplikation mit den Körperelementen (Skalaren) regeln
Welche?
Schreibe die mal sauber!! und angepasst an deine Mengen [mm] $\IK$ [/mm] und $F$ auf, dann machen wir da weiter..
>
> Gruß
>
> Thomas
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:36 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
also hier erstmal die Definition dses Vektorraums :
Sei K ein Körper. Eine Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung
+ : V x V [mm] \to [/mm] V , [mm] (v,w)\mapsto [/mm] v + w,
und einer äußeren Vernüpfung
* : K x V [mm] \to [/mm] V , [mm] (\lambda [/mm] , v) [mm] \mapsto \lambda [/mm] * v
heißt K Vektorraum wenn folgendes gilt :
V1
V zusammen mit der Addition ist eine abelsche Gruppe ( das neutrale Element heißt Nullvektor , es wird mit 0 , und das negative mit - v bezeichnet).
V2
Die Multiplikation mit Skalaren muß in folgender Weise mit den anderen Verknüpfungen verträglich sein:
[mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] ) * v = [mm] \lambda [/mm] * v + [mm] \mu [/mm] * v
[mm] \lambda *(v+w)=\lambda [/mm] * v + [mm] \lambda [/mm] * w
[mm] \lambda [/mm] * [mm] [\mu [/mm] * v) = [?lambda [mm] \mu) [/mm] * v , 1 * v = v
für alle [mm] \lambda [/mm] , [mm] \mu \in [/mm] K und v,w [mm] \in [/mm] V
so : Blau geschrieben habe ich das , was ich meinen das es die aufgabe schon vorgibt. Es bleibt also der Rest zu zeigen oder???
und der rest ist :
neutrale Element heißt Nullvektor , es wird mit 0 , und das negative mit - v bezeichnet).
V2
Die Multiplikation mit Skalaren muß in folgender Weise mit den anderen Verknüpfungen verträglich sein:
[mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] ) * v = [mm] \lambda [/mm] * v + [mm] \mu [/mm] * v
[mm] \lambda *(v+w)=\lambda [/mm] * v + [mm] \lambda [/mm] * w
[mm] \lambda [/mm] * [mm] [\mu [/mm] * v) = [?lambda [mm] \mu) [/mm] * v , 1 * v = v
für alle [mm] \lambda [/mm] , [mm] \mu \in [/mm] K und v,w [mm] \in [/mm] V
[/red]
liege ich da richtig ?
lg
Thomas
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ja, der letzte Teil ist für uns interessant und richtig
> V2
> Die Multiplikation mit Skalaren muß in folgender Weise mit
> den anderen Verknüpfungen verträglich sein:
>
> [mm](\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] ) * v = [mm]\lambda[/mm] * v + [mm]\mu[/mm] * v
> [mm]\lambda *(v+w)=\lambda[/mm] * v + [mm]\lambda[/mm] * w
>
> [mm]\lambda[/mm] * [mm][\mu[/mm] * v) = [?lambda [mm]\mu)[/mm] * v , 1 * v = v
>
> für alle [mm]\lambda[/mm] , [mm]\mu \in[/mm] K und v,w [mm]\in[/mm] V
>
>
> liege ich da richtig ?
>
> lg
>
> Thomas
Ich will's mal ein wenig "angepasster" an die gegebenen Mengen aufschreiben.
zu zeigen bleibt also:
(1) [mm] $\forall \lambda,\mu\in\IK [/mm] \ [mm] \forall f\in [/mm] F \ : \ [mm] (\lambda+\mu)\cdot{}f=\lambda\cdot{}f\oplus\mu\cdot{}f$
[/mm]
(2) [mm] $\forall \lambda,\mu\in\IK [/mm] \ [mm] \forall f\in [/mm] F \ : \ [mm] (\lambda\cdot{}\mu)\cdot{}f=\lambda\cdot{}(\mu\cdot{}f)$
[/mm]
(3) [mm] $\forall \lambda\in\IK [/mm] \ [mm] \forall f,g\in [/mm] F \ : \ [mm] \lambda\cdot{}(f\oplus g)=\lambda\cdot{}f\oplus\lambda\cdot{}g$
[/mm]
(4) [mm] $\forall f\in [/mm] F \ : \ [mm] 1_{\IK}\cdot{}f=f$, [/mm] wobei [mm] $1_{\IK}$ [/mm] das (multiplikative) neutrale Element in [mm] $\IK$ [/mm] ist
Dann solltest du dir unbedingt noch kurz klarmachen, was es denn bedeutet, dass 2 Vektoren [mm] $f,g\in [/mm] F$ gleich sind, also $f=g$
Das bedeutet, dass für [mm] \underline{\text{alle} x\in D} [/mm] gilt: $f(x)=g(x)$
Das heißt also zB. bei (4) ist zu zeigen, dass für alle [mm] $x\in [/mm] D$ gilt: [mm] $(1_{\IK}\cdot{}f)(x)=f(x)$ [/mm] für jedes [mm] $f\in [/mm] F$ ...
Damit solltest du gerüstet sein, um die 4 Punkte anzubeißen
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:03 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
ich weiß einfach nicht , wie ich zum Beispiel bei 1 die Distributivität zeigen soll
wie komme ich von
\ [mm] (\lambda+\mu)\cdot{}f= [/mm] .............. [mm] =\lambda\cdot{}f+\mu\cdot{}f
[/mm]
mit den angaben in der aUFGABE ??
für einen technischen ansatz wäre ich sehr dankbar
lg
ZThomas
|
|
|
| |
|
> Hallo ,
>
> ich weiß einfach nicht , wie ich zum Beispiel bei 1 die
> Distributivität zeigen soll
>
> wie komme ich von
>
> \ [mm](\lambda+\mu)\cdot{}f=[/mm] ..............
> [mm]=\lambda\cdot{}f+\mu\cdot{}f[/mm]
>
> mit den angaben in der aUFGABE ??
>
> für einen technischen ansatz wäre ich sehr dankbar
Hallo,
einen ganz wichtigen Hinweis zur Durchführung des Beweises hat Dir schachuzipus gegeben, und ich habe den Eindruck, daß Du diesen etwas schnell zu den Akten gelegt hast.
Er schrieb
> Dann solltest du dir unbedingt noch kurz klarmachen, was es denn bedeutet, dass 2 Vektoren $ > [mm] f,g\in [/mm] F $ gleich sind, also $ f=g $
> Das bedeutet, dass für $ [mm] \underline{\text{alle} x\in D} [/mm] $ gilt: $ f(x)=g(x) $ .
Damit sollte sich Dein Problem deutlich verkleinert haben.
Möchtest Du zeigen, daß für [mm] f,g\in [/mm] F die Aussage [mm] (\lambda+\mu)\cdot{}f=\lambda\cdot{}f+\mu\cdot{}f
[/mm]
richtig ist, so ist zu zeigen, daß gilt:
Für alle [mm] x\in [/mm] D ist [mm] [(\lambda+\mu)\cdot{}f](x)=[\lambda\cdot{}f+\mu\cdot{}f](x) [/mm] richtig.
Fang an mit [mm] [(\lambda+\mu)\cdot{}f](x)=
[/mm]
und wandle dieses unter genauester Beachtung der Dir vorliegenden Verknüpfungen um.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
