Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Ersty |
| Aufgabe | Betrachten wir den Vektorraum [mm] \IR^{5}.
[/mm]
Es seien Unterräume [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] von [mm] \IR^{5} [/mm] gegeben, die von den Basen [mm] B_{1} [/mm] = [mm] (\vektor{1\\0\\0\\1\\0}, \vektor{0\\1\\0\\-3\\0}, \vektor{0\\0\\1\\3\\0}, \vektor{0\\0\\0\\0\\1}) [/mm] bzw. [mm] B_{2} [/mm] = [mm] (\vektor{1\\0\\0\\1\\1}, \vektor{0\\1\\1\\0\\3}) [/mm] erzeugt werden. Ist [mm] U_{2} [/mm] ein Unterraum von [mm] U_{1}? [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ist mit Unterraum = Untervektorraum gemeint?
Verstehe ich die Aufgabe richtig, dass ich gucken soll, ob [mm] U_{2} [/mm] eine Teilmenge von [mm] U_{1} [/mm] ist, also komplett in [mm] U_{1} [/mm] liegt?
Verstehe ich es richtig, das [mm] U_{1} [/mm] durch [mm] B_{1} [/mm] erzeugt wird und [mm] U_{2} [/mm] durch [mm] B_{2}?
[/mm]
Reicht es dann zu gucken, welche Vektoren in [mm] U_{2} [/mm] drinne sind und dann zu gucken, ob diese Vektoren auch in [mm] U_{1} [/mm] sind?
Ich habe einige Vektoren gerechnet und mit der ersten Basis, kann ich so gut wie jeden Vektor [mm] \in\IR^{5} [/mm] erzeugen.
So das sind meine Wissenskenntnisse, kann mir jemand helfen?
Bestimmt gibt es nen ganz einfachen Weg, zu prüfen, ob [mm] U_{2} [/mm] Unterraum von [mm] U_{1} [/mm] ist, oder?
Vielen Dank!
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> Betrachten wir den Vektorraum [mm]R^{5}.[/mm]
> Es seien Unterräume [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] von [mm]R^{5}[/mm] gegeben, die
> von den Basen [mm]B_{1}[/mm] = [mm](\vektor{1\\0\\0\\1\\0}, \vektor{0\\1\\0\\-3\\0}, \vektor{0\\0\\1\\3\\0}, \vektor{0\\0\\0\\0\\1})[/mm]
> bzw. [mm]B_{2}[/mm] = [mm](\vektor{1\\0\\0\\1\\1}, \vektor{0\\1\\1\\0\\3})[/mm]
> erzeugt werden. Ist [mm]U_{2}[/mm] ein Unterraum von [mm]U_{1}?[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Ist mit Unterraum = Untervektorraum gemeint?
Hallo,
ja.
>
> Verstehe ich die Aufgabe richtig, dass ich gucken soll, ob
> [mm]U_{2}[/mm] eine Teilmenge von [mm]U_{1}[/mm] ist, also komplett in [mm]U_{1}[/mm]
> liegt?
Ja.
>
> Verstehe ich es richtig, das [mm]U_{1}[/mm] durch [mm]B_{1}[/mm] erzeugt wird
> und [mm]U_{2}[/mm] durch [mm]B_{2}?[/mm]
Ja.
> Reicht es dann zu gucken, welche Vektoren in [mm]U_{2}[/mm] drinne
> sind und dann zu gucken, ob diese Vektoren auch in [mm]U_{1}[/mm]
> sind?
Ja.
Das findest Du heraus, indem Du nachschaust, ob Du jeden der beiden erzeugenden Vektoren aus [mm] U_2 [/mm] als Linearkombination der erzeugenden Vektoren aus [mm] U_1 [/mm] darstellen kannst.
Eventuell ist es übersichtlicher, zunächst eine basis des [mm] U_1 [/mm] zu bestimmen, das kannst Du ganz nach Deinem Gusto machen.
> Ich habe einige Vektoren gerechnet und mit der ersten
> Basis, kann ich so gut wie jeden Vektor [mm]\in R^{5}[/mm]
> erzeugen.
Unfug! Das sind doch nur 4 Vektoren, damit kannst Du also allerhöchstens einen Unterraum der Dimension 4 erzeugen - für die Fragestellung der Aufgabe ist das unerheblich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 17.01.2008 | | Autor: | Ersty |
Vielen Dank dir erstmal, sogar für beide Antworten! :)
Bei dieser Antwort verstehe ich eine deiner Äußerungen nicht:
Du sagst, "dann kann ich nach Gusto evtl ne Basis von [mm] U_{1} [/mm] wählen."
Meine Frage: Die Basis ist doch oben angeben, eben mit den 4 Erzeugendenvektoren.
Kannst du mich aufklären, was das heißt?
Danke!
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> Du sagst, "dann kann ich nach Gusto evtl ne Basis von
> [mm]U_{1}[/mm] wählen."
Hallo,
nach Deinem Gusto= nach Deinem Geschmack.
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> Meine Frage: Die Basis ist doch oben angeben, eben mit den
> 4 Erzeugendenvektoren.
Ich hab' das gar nicht geprüft, ob es eine Basis ist oder lediglich ein Erzeugendensystem - auf jeden Fall kann ja der Tag kommen, an welchem Du solche eine Auggabe mit abhängigen Vektoren bekommst.
Was ich Dir sagen wollte ist, daß Du zwei Möglichkeiten hast:
1. Entweder Du zeigst, daß man jeden erzeugenden Vektor von [mm] U_2 [/mm] als Linearkombination der erzeugenden Vektoren v. [mm] U_1 [/mm] schreiben kannst, oder
2. Du bestimmst zuerst eine Basis v. [mm] U_1 [/mm] und zeigst, daß man jeden erzeugenden Vektor aus [mm] U_2 [/mm] mit dieser Basis darstellen kann.
Falls Du bereits eine Basis vorliegen hast, ist ja 1.=2.
Gerade fällt mir noch eine Möglichkeit ein, sie ist dem simultan zu lösenden GS sehr ähnlich.
Du steckst die Vektoren in eine Matrix, die ersten Spalten sind die 4 Vektoren von [mm] U_1, [/mm] die anderen die von [mm] U_2. [/mm] Dann bringst Du das auf Zeilenstufenform. Wenn Du am Ende in der 5. oder 6. Spalte ein führendes Element hast, also eines, vor dem in der Zeile nur Nullen stehen, ist [mm] U_2 [/mm] kein Unterraum v. [mm] U_1, [/mm] denn man hätte einen von den ersten Vektoren Unabhängigen Vektor gefunden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Do 17.01.2008 | | Autor: | Kreide |
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> > Du sagst, "dann kann ich nach Gusto evtl ne Basis von
> > [mm]U_{1}[/mm] wählen."
>
> Hallo,
>
> nach Deinem Gusto= nach Deinem Geschmack.
>
> >
> > Meine Frage: Die Basis ist doch oben angeben, eben mit den
> > 4 Erzeugendenvektoren.
>
> Ich hab' das gar nicht geprüft, ob es eine Basis ist
aber da steht doch gegeben sind die Basen b 1 und b2, dann müsste man doch nichts mehr überprüfen oder ?
> 2. Du bestimmst zuerst eine Basis v. [mm]U_1[/mm] und zeigst, daß
> man jeden erzeugenden Vektor aus [mm]U_2[/mm] mit dieser Basis
> darstellen kann.
>
> Falls Du bereits eine Basis vorliegen hast, ist ja 1.=2.
was meinst du hier?
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> > Ich hab' das gar nicht geprüft, ob es eine Basis ist
>
> aber da steht doch gegeben sind die Basen b 1 und b2, dann
> müsste man doch nichts mehr überprüfen oder ?
Hallo,
wo Du recht hast, hast Du recht...
Nein, man muß dann nichts mehr prüfen, es sei denn, man traut dem Braten nicht.76zuu65tz
> > 2. Du bestimmst zuerst eine Basis v. [mm]U_1[/mm] und zeigst, daß
> > man jeden erzeugenden Vektor aus [mm]U_2[/mm] mit dieser Basis
> > darstellen kann.
> >
> > Falls Du bereits eine Basis vorliegen hast, ist ja 1.=2.
>
> was meinst du hier?
Na, daß in dem Falle Variante 1 = Variante 2 ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Ersty |
Okay theoretisch verstehe ich es warum du jetzt die Matrix aufschreiben willst, da das aber nie gelernt habe, alle vektoren in eine Basis zu schreiben und irgendwie auszurechnen, schreibe ich jetzt mal die Matrix aus, die ich denke, dass dus so meinst, und du korrigierst mich dann, ok? :D
Also:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 3}
[/mm]
Ist das so richtig, erst die 4 Vektoren aus B1 und dahinter aus B2.
Muss ich das dann noch ganz rechts einen senkrechten Strich schreiben und den Nullvektor reinschreiben, weil auf Zeilenstufenform geht ja nur, wenn wir ein gleichheitszeichen haben und dahinter Zahlen stehen haben.
Vielen Dank noch mal für deine ausführliche Hilfe!
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>, alle
> vektoren in eine Basis
Matrix!
> zu schreiben und irgendwie
> auszurechnen, schreibe ich jetzt mal die Matrix aus, die
> ich denke, dass dus so meinst, und du korrigierst mich
> dann, ok?
Hallo,
ja, so können wir es machen.
Du hast genau die Matrix aufgeschrieben, die ich meinte.
Die soll nun auf Zeilenstufenform gebracht werden, und ich zeige Dir dann später, was man daran ablesen kann.
(Eigentlich kann ich es mir kaum vorstellen, daß Ihr so etwas in der Art, also lineare Abhängigkeit mit Matrix uns ZSF geprüft, nicht gemacht habt. In der Übung sollte das drangewesen sein.)
Gruß v. Angela
> Also:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 3}[/mm]
>
> Ist das so richtig, erst die 4 Vektoren aus B1 und dahinter
> aus B2.
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