Vektorraum-Abbildungen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:40 Do 24.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei X eine Menge und V ein Vektorraum über [mm] \IK. [/mm] Zeige, dass die Menge
aller Abbildungen X -> V bezüglich punktweiser Addition und Skalarmultiplikation einen [mm] \IK-Vektorraum [/mm] bildet. |
Hallo ihr ;)
Bin bei V5 :
[mm] \forall \lambda [/mm] , [mm] \mu \in \IK
[/mm]
[mm] \lambda (\mu [/mm] f) = [mm] (\lambda \mu) [/mm] f
[mm] \lambda [/mm] ( [mm] \mu [/mm] f) = [mm] \lambda [/mm] * ( [mm] \mu [/mm] f) (x) = ( [mm] \lambda \mu [/mm] f ) (x) = [mm] (\lambda \mu [/mm] ) f (x) = [mm] (\lambda \mu) [/mm] f
korrekt?
Bei V7:
[mm] \forall \lambda [/mm] , [mm] \mu \in \IK
[/mm]
[mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] ) f = [mm] \lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] f
( [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] ) f = ( [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] ) f (x) = ( [mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] ) f) (x) = ( [mm] \lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] f ) (x) = [mm] (\lambda [/mm] f) (x) + [mm] (\mu [/mm] f) (x) = [mm] \lambda [/mm] * f(x) + [mm] \mu [/mm] f(x) = [mm] \lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] f
Bei V8:
1f =f
1f= 1 f (x) = (1*f) (x) = f (x) = f
Kann das für mich wer kurz kontrollieren? Danke, wäre super!
Bei den restlichen Axiomen bin ich mir relativ sicher!
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> Sei X eine Menge und V ein Vektorraum über [mm]\IK.[/mm] Zeige,
> dass die Menge
> aller Abbildungen X -> V bezüglich punktweiser Addition
> und Skalarmultiplikation einen [mm]\IK-Vektorraum[/mm] bildet.
> Hallo ihr ;)
Hallo,
grob über den Daumen gepeilt stimmt das, was Du hier tust.
Es gibt aber einige Schwächen.
Ich mache die V5 mal so vor, wie ich sie richtig finde.
Für jeden Schritt solltest Du eine Begründung wissen.
Anhand dessen wirst Du den Rest selbst bearbeiten können.
> Bin bei V5 :
> [mm]\forall \lambda[/mm] , [mm]\mu \in \IK[/mm]
> [mm]\lambda (\mu[/mm] f) = [mm](\lambda \mu)[/mm] f
Dafür ist zu zeigen: für alle [mm] x\in [/mm] X gilt [mm] (\lambda(\mu f))(x)=((\lambda\mu)f)(x).
[/mm]
Sei [mm] x\in [/mm] X. Es ist
[mm] (\lambda(\mu f))(x)=\lambda (\mu [/mm] f)(x)
[mm] =\lambda (\mu [/mm] f(x))
[mm] =(\lambda \mu)f(x)
[/mm]
[mm] =((\lambda \mu)f)(x).
[/mm]
Also gilt [mm] $\lambda (\mu$ [/mm] f) = [mm] $(\lambda \mu)$ [/mm] f.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\lambda[/mm] ( [mm]\mu[/mm] f) = [mm]\lambda[/mm] * ( [mm]\mu[/mm] f) (x) = ( [mm]\lambda \mu[/mm]
> f ) (x) = [mm](\lambda \mu[/mm] ) f (x) = [mm](\lambda \mu)[/mm] f
> korrekt?
>
> Bei V7:
> [mm]\forall \lambda[/mm] , [mm]\mu \in \IK[/mm]
> [mm](\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] ) f =
> [mm]\lambda[/mm] f + [mm]\mu[/mm] f
>
> ( [mm]\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] ) f = ( [mm]\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] ) f (x) = (
> [mm](\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] ) f) (x) = ( [mm]\lambda[/mm] f + [mm]\mu[/mm] f ) (x) =
> [mm](\lambda[/mm] f) (x) + [mm](\mu[/mm] f) (x) = [mm]\lambda[/mm] * f(x) + [mm]\mu[/mm] f(x) =
> [mm]\lambda[/mm] f + [mm]\mu[/mm] f
>
> Bei V8:
> 1f =f
>
> 1f= 1 f (x) = (1*f) (x) = f (x) = f
>
> Kann das für mich wer kurz kontrollieren? Danke, wäre
> super!
> Bei den restlichen Axiomen bin ich mir relativ sicher!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Fr 25.11.2011 | | Autor: | sissile |
aber V8 ) kann ich doch nicht viel anders machen?
Bei V8:
1f =f
1f= 1 (f (x)) = (1*f) (x) = f (x) = f
Bei V7:
$ [mm] \forall \lambda [/mm] $ , $ [mm] \mu \in \IK [/mm] $
$ [mm] (\lambda [/mm] $ + $ [mm] \mu [/mm] $ ) f =
$ [mm] \lambda [/mm] $ f + $ [mm] \mu [/mm] $ f
( $ [mm] \lambda [/mm] $ + $ [mm] \mu [/mm] $ ) f = ( $ [mm] \lambda [/mm] $ + $ [mm] \mu [/mm] $ )( f (x) )= (
$ [mm] (\lambda [/mm] $ + $ [mm] \mu [/mm] $ ) f) (x) = ( $ [mm] \lambda [/mm] $ f + $ [mm] \mu [/mm] $ f ) (x) =
$ [mm] (\lambda [/mm] $ f) (x) + $ [mm] (\mu [/mm] $ f) (x) = $ [mm] \lambda [/mm] $ *( f(x)) + $ [mm] \mu [/mm] $ (f(x) )=
$ [mm] \lambda [/mm] $ f + $ [mm] \mu [/mm] $ f
Ich habe paar klammern mehr gesetzt. Noch ausbaufähig?
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> aber V8 ) kann ich doch nicht viel anders machen?
Hallo,
ein paar Wörtchen wie "zu zeigen" und "es sei" sind kein Fehler.
>
> Bei V8:
> 1f =f
>
> 1f= 1 (f (x)) = (1*f) (x) = f (x) = f
Das Rote ist eine Katastrophe.
Du behauptest hier, daß die Funktion 1f dasselbe ist wie ihr Funktionswert an der Stelle x.
Ich hatte das in meiner Rechnung nicht so gemacht und gehofft, daß es Dir auffallen würde.
Du machst diesen Fehler konsequent weiter.
Schreib doch mal auf, was zu zeigen ist: für alle [mm] x\in [/mm] X gilt:
Und dann leg los:
(1f)(x)=...
Wenn Du jeden Schritt mit der Nr. einer Definition o.ä. begründen kannst, ist es richtig.
Die Gleichung 1 (f (x)) = (1*f) (x) = f (x) ist zwar richtig, aber der gedankliche Ablauf stimmt nicht, und ohne Zwischenschritt wirst Du keine Begründung fürs zweite Gleichheitszeichen haben. Da ist einfach die Behauptung hingeschrieben.
Du willst doch zeigen (1f)(x)=...=f(x)
>
> Bei V7:
> [mm]\forall \lambda[/mm] , [mm]\mu \in \IK[/mm]
> [mm](\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] ) f = f + [mm]\mu[/mm] f
>
> ( [mm]\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] )( f (x) )=
XXX> ( [mm](\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] ) f) (x) = ( [mm]\lambda[/mm] f + [mm]\mu[/mm] f ) (x) =
> [mm](\lambda[/mm] f) (x) + [mm](\mu[/mm] f) (x) = [mm]\lambda[/mm] *( f(x)) + [mm]\mu[/mm] (f(x) )
In der angekreuzten Zeile steht wieder einfach die Behauptung.
Du mußt Dich bei jedem Schritt fragen: "warum?" und eine Antwort in Form einer Definition/eines Satzes o.ä. parat haben.
>
> Ich habe paar klammern mehr gesetzt. Noch ausbaufähig?
Es wäre vielleicht nicht nur für mich hilfreich, wenn man Deinem Profil entnehmen könnte, was Du studierst.
Beim Lehramt für Sonderschulen könnte man sicher manches etwas lockerer sehen als beim LG oder gar Mathe-Bachelor.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Fr 25.11.2011 | | Autor: | sissile |
> Die Gleichung 1 (f (x)) = (1*f) (x) = f (x) ist zwar richtig, aber der gedankliche Ablauf stimmt nicht
mhm
Definiert haben wir:
[mm] (\lambda [/mm] f) (x) := [mm] \lambda [/mm] f (x)
(f+g) (x) := f(x) + g (x)
Und bei 8 tritt doch nur die definition 1 in kraft!
Ich kome nun zu deinem Zurück
> Dafür ist zu zeigen: für alle $ [mm] x\in [/mm] $ X gilt $ [mm] (\lambda(\mu f))(x)=((\lambda\mu)f)(x). [/mm] $
Sei $ [mm] x\in [/mm] $ X. Es ist
> $ [mm] (\lambda(\mu f))(x)=\lambda (\mu [/mm] $ f)(x)
> $ [mm] =\lambda (\mu [/mm] $ f(x))
> $ [mm] =(\lambda \mu)f(x) [/mm] $
> $ [mm] =((\lambda \mu)f)(x). [/mm] $
wie erklärst du das hier mit der Definition?
-> Du ziehst [mm] \lambda [/mm] heraus
-> Du isolierts f(x)
...Wie ist dazu die begründung?
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> > Die Gleichung 1 (f (x)) = (1*f) (x) = f (x) ist zwar
> richtig, aber der gedankliche Ablauf stimmt nicht
> mhm
>
> Definiert haben wir:
A. > [mm](\lambda[/mm] f) (x) := [mm]\lambda[/mm] f (x)
B. > (f+g) (x) := f(x) + g (x)
>
> Und bei 8 tritt doch nur die definition 1 in kraft!
>
> Ich kome nun zu deinem Zurück
> > Dafür ist zu zeigen: für alle [mm]x\in[/mm] X gilt [mm](\lambda(\mu f))(x)=((\lambda\mu)f)(x).[/mm]
>
> Sei [mm]x\in[/mm] X. Es ist
> > [mm](\lambda(\mu f))(x)=\lambda (\mu[/mm] f)(x) A.
> > [mm]=\lambda (\mu[/mm] f(x)) A.
> > [mm]=(\lambda \mu)f(x)[/mm] Vektorraumaxiome
> > [mm]=((\lambda \mu)f)(x).[/mm] A.
> wie
> erklärst du das hier mit der Definition?
Eigentlich solltest Du darüber nachdenken.
Ich hab's dahintergeschrieben.
Gruß v. Angela
> -> Du ziehst [mm]\lambda[/mm] heraus
> -> Du isolierts f(x)
> ...Wie ist dazu die begründung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Fr 25.11.2011 | | Autor: | sissile |
Gut v8)
(1f) (x) =
1 f(x) B
=f(x) Vekktorraumaxiom->1v=v
oder bezeichnet 1 eine konstante Einsfunktion? ( 1(x) * f (x)= 1 f (x) ), aber die Mult von Funktionen..da hätten wir ja noch keine definition!)
V4 ) Kommutativität der addition
(f + g) (x) =
= f (x) + g (x) A
= g (x) + f (x) Nicht sicher ob dass das selbe Vektorraumaxiom der kommutativitäöt erklärt ;(
(g + f) (x) A
V7)
( $ [mm] \lambda [/mm] $ + $ [mm] \mu [/mm] $ )( f (x) )=
= [mm] ((\lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] ) * f ) (x) B
zu ( [mm] \lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] f) (x) fehlt mir die begründung!( oder kann ich mit der Distributivität begründen?)
[mm] \lambda [/mm] f (x) + [mm] \mu [/mm] f (x) B und A
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Fr 25.11.2011 | | Autor: | sissile |
Hei ;)
Noch wer da!? ;)
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Hallo,
nach [mm] 1\bruch{1}{2} [/mm] Std. schon zu quengeln, ist aber etwas übertrieben...
Gruß v. Angela
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Hallo,
hier entwickelt sich ja manches erfreulich!
> Gut v8)
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> (1f) (x) =
> 1 f(x) B
(War das mit der Multiplikation nicht A?)
> =f(x) Vekktorraumaxiom->1v=v
Ja!
> oder bezeichnet 1 eine konstante Einsfunktion?
Nein. Die 1 ist ein Skalar, das dürfte auch in der Def. der Multiplikation irgendwo stehen.
> ( 1(x) * f
> (x)= 1 f (x) ), aber die Mult von Funktionen..da hätten
> wir ja noch keine definition!)
Siehste!
>
> V4 ) Kommutativität der addition
> (f + g) (x) =
> = f (x) + g (x) A
> = g (x) + f (x) Nicht sicher ob dass das selbe
> Vektorraumaxiom der kommutativitäöt erklärt ;(
Vertauschen darfst Du, weil f(x) und g(x) beide aus V sind und weil V eine abelsche Gruppe bzgl der Addition ist.
> (g + f) (x) A
Genau. (Ich hab' jetzt keine Lust zu gucken, ob es nicht eigentlich B war. Du meinst es jedenfalls richtig, und ich meine es auch richtig.)
>
>
>
> V7)
> ( [mm]\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] )( f (x) )=
Der Anfang ist nicht gut.
Zeigen willst Du [mm] (\lambda+\mu)f=\lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] f.
Also muß füralle x gezeigt werden, daß [mm] ((\lambda+\mu)f)(x)=(\lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] f)(x).
Es ist
[mm] ((\lambda+\mu)f)(x)=(\lambda+\mu)f(x) [/mm] Def. A oder B
[mm] =\lambda f(x)+\mu [/mm] f(x) Vektorraumaxiome
[mm] =(\lambda f)(x)+(\mu [/mm] f)(x) A oder B
[mm] =(\lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] f)(x). B oder A
Gruß v. Angela
> = [mm]((\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] ) * f ) (x) B
> zu ( [mm]\lambda[/mm] f + [mm]\mu[/mm] f) (x) fehlt mir die begründung!(
> oder kann ich mit der Distributivität begründen?)
> [mm]\lambda[/mm] f (x) + [mm]\mu[/mm] f (x) B und A
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Fr 25.11.2011 | | Autor: | sissile |
danke sehr nett!
Gut verstanden!
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