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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Sa 10.05.2008 | | Autor: | tima84 |
| Aufgabe | Sei V Vektorraum und seien U1 und U2 Unterr¨aume von V . Zeigen Sie, dass U1 [mm] \cup [/mm] U2 genau
dann Unterraum ist, wenn U1 [mm] \subset [/mm] U2 oder U2 [mm] \subset [/mm] U1 gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Sei V Vektorraum und seien U1 und U2 Unterr¨aume von V .
> Zeigen Sie, dass U1 [mm]\cup[/mm] U2 genau
> dann Unterraum ist, wenn U1 [mm]\subset[/mm] U2 oder U2 [mm]\subset[/mm] U1
> gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Was hast du denn bereits?
Ich würde mit einem Widerspruchsbeweis an die Sache ran gehen.
Du kannst so anfangen.
Es seien [mm] U_{1},U_{2} [/mm] UVR von V, sodass [mm] U_{1}\cup\\U_{2} [/mm] ein UVR von V ist.
Nehme nun an es gilt: [mm] U_{1}\not\subset\\U_{2} [/mm] und [mm] U_{2}\not\subset\\U_{1}, [/mm] d.h [mm] \exists u_{1}\in\\U_{1} [/mm] mit [mm] u_{1}\not\in\\U_{2} [/mm] und [mm] u_{2}\in\\U_{2} [/mm] mit [mm] u_{2}\not\in\\U_{1}.
[/mm]
Betrachte nun [mm] u_{1},u_{2}\in\\U_{1}\cup\\U_{2}. [/mm] Da nun [mm] U_{1}\cup\\U_{2} [/mm] ein UVR von V ist gilt [mm] u_{1}+u_{2}\in\\U_{1}\cup\\U_{2}. [/mm] Demnach ist [mm] u_{1}+u_{2}\in\\U_{1} [/mm] oder [mm] u_{1}+u_{2}\in\\U_{2}....Kommst [/mm] du nun weiter?
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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