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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 So 13.02.2005 | | Autor: | fridolin |
Hallo ihr,
die Klausurvorbereitung läßt mir keine Ruhe ... grrrr
Was sagt ihr zu folgendem:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mein Verständnis ist überfragt.....
Lieben Dank,
frido
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo frido!
Hier meine Interpretation der Aufgabe, die auch vollkommen falsch sein kann:
z.z: V ist ein Vektorraum
also muss man die 8 Vektorraumeigenschaften überprüfen:
1) [mm] \forall f,g,h\in [/mm] V: (f [mm] \oplus [/mm] g) [mm] \oplus [/mm] h = f [mm] \oplus [/mm] (g [mm] \oplus [/mm] h)
(Multiplikation ist assoziativ, man braucht also nichts mehr zeigen)
2) [mm] \forall [/mm] f,g [mm] \in [/mm] V: f [mm] \oplus [/mm] g = g [mm] \oplus [/mm] f
(die Multiplikation ist kommutativ, ebenfalls nichts zu zeigen)
3) [mm] \exists f_0\in [/mm] V: [mm] \forall f\in [/mm] V: [mm] f_0 \oplus [/mm] f = f = f [mm] \oplus f_0
[/mm]
(ja gibt es, nämlich [mm] f_0 \equiv [/mm] 1)
4) [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] V [mm] \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] V: f [mm] \oplus [/mm] g = [mm] f_0
[/mm]
[mm] (g:=\frac{1}{f}, [/mm] funktioniert, da f [mm] \not= [/mm] 0)
5) [mm] \forall \lambda, \mu\in\IR, f\in [/mm] V: [mm] \lambda\odot (\mu\odot f)=(\lambda \cdot\mu)\odot [/mm] f
(stimmt auch: [mm] (f^\lambda)^\mu=f^{\lambda\mu}=(f^\mu)^\lambda)
[/mm]
6) [mm] \forall f\in [/mm] V: [mm] 1\odot [/mm] f=f (klar: [mm] f^1=f)
[/mm]
7) [mm] \forall \lambda \in \IR, f,g\in [/mm] V: [mm] \lambda\odot(f \oplus [/mm] g) = [mm] (\lambda \odot f)\oplus (\lambda\odot [/mm] g)
(nachrechnen: [mm] \lambda\odot(f\oplus g)=(fg)^\lambda=f^\lambda\cdot g^\lambda=(\lambda\odot f)\oplus (\lambda\odot [/mm] g))
lineare Unabhängigkeit:
mmh, gute Frage.
Wenn man stur die Definition anwendet, erhält man:
[mm] f_1, [/mm] ... , [mm] f_n [/mm] lin. unabhängig [mm] \gdw (\lambda_1\odot f_1)\oplus [/mm] ... [mm] \oplus (\lambda_n\odot f_n) [/mm] = [mm] f_0 [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow \lambda_i=0, [/mm] i=1, ..., n
Dabei muss man beachten, dass die f,g,h und [mm] f_i [/mm] Funktionen sind. Du musst dir also überall noch ein [mm] \forall x\in\IR [/mm] dazu denken.
Hoffe ich konnte dir ein bißchen helfen.
mfg Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ergänzend zu baskoliis Anmerkungen möchte ich noch erwähnen, dass du auch noch die Abgeschlossenheit unter [mm] $\oplus$ [/mm] und der skalaren Multiplikation [mm] $\odot$ [/mm] zeigen musst.
Du musst also zeigen:
1) Falls $f(t)>0$ und $g(t)>0$ für alle $t [mm] \in [/mm] T$,
dann gilt auch:
$(f [mm] \oplus [/mm] g)(t)>0$ für alle $t [mm] \in [/mm] T$.
2) Falls $f(t)>0$ für alle $t [mm] \in [/mm] T$ und [mm] $\lambda \in \IR$,
[/mm]
dann gilt auch:
[mm] $(\lambda \odot [/mm] f)(t)>0$ für alle $t [mm] \in [/mm] T$.
Beides ist auf Grund der Definitionen trivial, aber man sollte es mal hinschreiben... 
Die lineare Unabhängigkeit bedeutet eben, dass aus
[mm] $(f_1^{\lambda_1} \cdot \ldots \cdot f_n^{\lambda_n})(t) [/mm] =1$
für alle [mm] $t\in [/mm] T$ die Beziehung
[mm] $\lambda_1=\lambda_2 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \lambda_n=0$
[/mm]
folgt.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:02 Mo 14.02.2005 | | Autor: | fridolin |
Hallo Verena und Stefan!
Habt lieben Dank!!!
frido
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