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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 Mi 19.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo an alle!
Ich habe da einige Verständnisfragen, die ihr mir vielleicht (oder sicher  )beantworten könnt.
Es ist nämlich so, ich verstehe nicht den Unterschied zwischen den folgenden Vektorräumen:
Was ist der Vektorraum [mm] \IR^{\IR}? [/mm] Bzw. wie kann man ihn sich vorstellen? Aus der Vorlesung weiß ich, dass sich [mm] \IR^{\IR} [/mm] so darstellen lässt:
[mm] \IR^{\IR} [/mm] = { f | f: [mm] \IR \to \IR [/mm] }
Meine Frage dazu: In [mm] \IR^{\IR} [/mm] sind doch alle Funktionen wie z.B. sin, cos, [mm] x^{2}, x^{3} [/mm] enthalten, oder? Sind aber darin auch Punkte und Geraden enthalten? Wenn ich mich nicht verhört habe, hat der Assistent vom Prof gemeint, dass die nicht enthalten sind. Stimmt das?
Und wie kann ich mir [mm] \IR^{n} [/mm] vorstellen?
Könnt ihr mir bitte erklären, was das immer heißt, wenn da steht:
[mm] \IR^{1}, \IR^{2}, \IR^{3} [/mm] und so weiter. Was kann man dann aus diesen Vektorräumen folgen?
Ich hoffe, ihr versteht, wo mein Problem liegt.
Danke für eure Hilfe!
Ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:53 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo VHN!
> Was ist der Vektorraum $ [mm] \IR^{\IR}? [/mm] $ Bzw. wie kann man ihn sich vorstellen? Aus der Vorlesung weiß ich, dass sich $ [mm] \IR^{\IR} [/mm] $ so darstellen lässt:
> $ [mm] \IR^{\IR} [/mm] $ = [mm] \{ f | f: $ \IR \to \IR \}$
[/mm]
Die Definitions ist richtig. Die Menge [mm] $\IR^{\IR}$ [/mm] beinhaltet alle Abbildung von [mm] $\IR$ [/mm] in sich, d.h. alle Polynome, alle trigonometrischen Funktionen usw., aber z.B. keine Funktionen mit Definitionslücken wie z.B. [mm] $f(x)=\frac{1}{x}$. [/mm] Kurzum: alle reellen Funktionen, die also die gesamten reellen Zahlen als Definitionsmenge haben und reellwertig sind, d.h. auch die Bilder in $f$ existieren allesamt reell sind.
> Meine Frage dazu: In $ [mm] \IR^{\IR} [/mm] $ sind doch alle Funktionen wie z.B. sin, cos, $ [mm] x^{2}, x^{3} [/mm] $ enthalten, oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Sind aber darin auch Punkte und Geraden > enthalten? Wenn ich mich nicht verhört habe, hat der Assistent vom Prof gemeint, dass die nicht enthalten sind. Stimmt das?
Ein Punkt ist keine Abbildung von [mm] $\IR$ [/mm] in sich, denn du musst ja für jedes Urbild aus [mm] $\IR$ [/mm] ein Bild in [mm] $\IR$ [/mm] definieren. Wolltest du einen Punkt beschreiben, müsstest du nur ein Bild festlegen, dann wäre die Definitionsmenge deiner "Abbildung" allerdings nicht die reellen Zahlen sondern eine Menge mit lediglich einem Element aus [mm] $\IR$. [/mm] Eine Gerade kannst du über $f(x)=ax+b$ beschreiben, d.h. alle Geraden mit endlicher Steigung $a$ liegen in [mm] $\IR^{\IR}$.
[/mm]
> Und wie kann ich mir $ [mm] \IR^{n} [/mm] $ vorstellen?
> Könnt ihr mir bitte erklären, was das immer heißt, wenn da steht:
> $ [mm] \IR^{1}, \IR^{2}, \IR^{3} [/mm] $ und so weiter. Was kann man dann aus diesen Vektorräumen folgen?
Die Menge [mm] $\IR^x$ [/mm] beschreibt die Menge aller x-Tupel über [mm] $\IR$. [/mm] Z.b. ist [mm] $\IR^3:=\{(x,y,z)|x,y,z\in \IR\}$. [/mm] Zusammen mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation (welche ebenfalls Komponentenweise erfolgt), ist [mm] $\IR^3$, [/mm] und im allgemeinen auch [mm] $\IR^x$, [/mm] ein Vektorraum.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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