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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:41 Di 02.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ich hab folgende Aufgaben, an denen ich nicht mal im Ansatz weiß, wo ich anfangen soll ! Daher wäre es nett, wenn ihr Ansätze posten könntet. (Denkansätze) Es hackt einfach bei den Aufgaben (Unser Prof hält die Vorlesung bissle eigentümlich (ich bezeichne das hier mal frecherweise als nicht gaanz strukturiert)) ! 
Hab im Fischer nachgelesen, aber auch mit dem, kann ich die "Regeln" nicht auf die Aufgaben projizieren !
Ich weiß nicht, ob ich bei den Aufgaben Austauschsatz, Basisauswahlsatz,.. anwenden soll, oder wie auch immer..
1)
Es seien [mm] u_{1},....u_{k} [/mm] linear unabhängig.
Man zeige:
[mm] v_{1}=u_{1}-u_{2}-...-u_{k},...,v_{k-1}=u_{k-1}-u_{k},v_{k}=u_{k}
[/mm]
sind linear unabhängig.
Ich versteh die Aufgabenstellung hier nicht !
Die Gleichung verwirrt mich irgendwie ! Soll ich zeigen, dass [mm] v_{1} [/mm] und [mm] u_{k} [/mm] linear unabhängig sind ?
Ist [mm] v_{1}=u_{1}-u_{2}-...-u_{k},...,v_{k-1} [/mm] eine Definition ?
2)
Es sei [mm] \subseteq [/mm] V.
a) Es seien [mm] c_{1},...,c_{1} \in \IR [/mm] \ [mm] {0}=:R^{*}
[/mm]
Man zeige: [mm] =
[/mm]
b) Es sei u [mm] \in
[/mm]
Man zeige:
[mm] =
[/mm]
< > gibt doch die Lineare Hülle an..
Ich benötige hier irgendwie man ordentlich einen Denkanschub !
Sorry, dass ich nicht irgendwelche Vermutungen meinerseits posten kann, aber bei diesem Blatt happerts...
Thanx a lot !
Faenôl
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Faenol,
Ich beantworte dir mal die erste Teilaufgabe.
Du hast eine ganze Menge von Vektoren [mm] v_i, [/mm] mit
[mm] $v_i [/mm] := [mm] u_i [/mm] - [mm] u_{i+1} [/mm] - ... - [mm] u_k$ [/mm] fuer k = 1,...,k-2
[mm] $v_{k-1} [/mm] := [mm] u_{k-1} [/mm] - [mm] u_k$
[/mm]
[mm] $v_k [/mm] = [mm] u_k$
[/mm]
Du sollst jetzt zeigen, dass die Vektoren [mm] v_1,...,v_k [/mm] linear unabhaengig sind, wenn die [mm] u_1,...,u_k [/mm] linear unabhaengig sind.
Dazu setzt du eine Linearkombination der [mm] v_i [/mm] an, die Null ergibt.
Dann multiplizierst du alles aus und klammerst die [mm] u_i's [/mm] aus. Nun hast du eine Linearkombination der [mm] u_i's [/mm] stehen, die Null ergibt. Die [mm] u_i's [/mm] waren aber linear unabhaengig und daher ... (den Rest schaffst du sicher selbst, nicht?)
Liebe Gruesse,
Irrlicht
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Hallo Irrlicht !
Hmm, o.k, hab's nun kapiert, ob korrekt aufgeschrieben, ist was anderes, aber darum gehts ja erstmal net..
Wobei ich aus der Aufgabenstellung net direkt, wie du, herausgefunden hätte, dass ich zeigen soll, dass [mm] v_{1}, ...,v_{k} [/mm] linear unabhängig sind..
Naja....
Zu der 2a)
Muss ich hier beweisen, dass W Untervektorraum von V ist, oder dass der Untervektorraum zusammen mit der Multiplikation wieder ein Vektorraum ist ?
Ich denk mal ersteres, oder ?
Aber dann muss ich doch nur zeigen, dass
1. W darf nicht leer sein.
2. v,w [mm] \in [/mm] W => v+w [mm] \in [/mm] W
3. v [mm] \in [/mm] W und y [mm] \in [/mm] R => yv [mm] \in [/mm] W
Hä ?
Habt Verständnis bei diesem Blatt..
Ich weiß, niiee bei den Aufgaben, was genau meine Aufgabe ist! *tztt*
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Di 09.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Faenol!
> Zu der 2a)
> Muss ich hier beweisen, dass W Untervektorraum von V ist,
> oder dass der Untervektorraum zusammen mit der
> Multiplikation wieder ein Vektorraum ist ?
Du muss zeigen, dass für [mm] $c_1,\ldots,c_r \in \IR \setminus\{0\}$ [/mm] folgendes gilt:
[mm] $\langle W_1,\ldots,W_r \rangle [/mm] = [mm] \langle c_1W_1,\ldots,c_r W_r \rangle$.
[/mm]
1. Behauptung: [mm] $\langle W_1,\ldots,W_r \rangle \subset \langle c_1W_1,\ldots,c_r W_r \rangle$
[/mm]
Beweis:
Ist $x [mm] \in \langle W_1,\ldots,W_r \rangle$ [/mm] beliebig gewählt, so gibt es Skalare [mm] $\lambda_1,\ldots, \lambda_r$ [/mm] mit
$x = [mm] \lambda_1 W_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_r W_r [/mm] = [mm] \underbrace{\frac{\lambda_1}{c_1}}_{=: \, \mu_1} \cdot c_1W_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \underbrace{\frac{\lambda_r}{c_r}}_{=: \, \mu_r} \cdot c_rW_r [/mm] = [mm] \mu_1 \cdot c_1W_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \mu_r \cdot c_rW_r \in \langle c_1W_1,\ldots,c_r W_r \rangle$.
[/mm]
2. Behauptung: [mm] $\langle c_1W_1,\ldots,c_rW_r \rangle \subset \langle W_1,\ldots, W_r \rangle$
[/mm]
Beweis:
Ist $x [mm] \in \langle c_1W_1,\ldots, c_rW_r \rangle$ [/mm] beliebig gewählt, so gibt es Skalare [mm] $\lambda_1,\ldots, \lambda_r$ [/mm] mit
$x = [mm] \lambda_1 \cdot c_1W_1 [/mm] + [mm] \ldots \lambda_r W_r [/mm] = [mm] \underbrace{\lambda_1 \cdot c_1}_{=: \, \mu_1} \cdot W_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \underbrace{\lambda_r \cdot c_r}_{=: \, \mu_r} \cdot [/mm] W_ [mm] \in \langle W_1,\ldots, W_r \rangle$.
[/mm]
Hast du zu der b) nun selber eine Idee?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ja, b) habe ich mittlerweile gelöst ! *g*
Hatte nicht mehr damit gerechnet, dass jemand antwortet !
Wenn du aber schon drauf eingehst, stell ich noch eine andere Frage:
Wenn ich nun [mm] W:={(x_{1},....,x_{n}) \in \IR ^{n} | a_{j1}x_{1}+...+ a_{jn}x_{n}=b_{j}; j=1,...,m} [/mm] habe..
zu zeigen: W ist genau dann ein Untervektorraum des [mm] \IR^{n}, [/mm] wenn [mm] b_{1}=...=b_{m}=0 [/mm] gilt.
Ich hatte jetzt den Gedanken, ein LGS anzufertigen, mit den Koeffizienten:
[mm] \vmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}}
[/mm]
wollte die dann auf Stufenform bringen, und damit beweisen, dass [mm] b_{1}=...=b_{m}=0 [/mm] sein müssen, damit lösbar ist (bzw. den letzten Schritt, bin ich mir noch unsicher, hab dann einen Ausdruck, aber dann ?)
Ist das der richtige Weg ?
Was würdest du sagen ?
Danke
Faenol
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Hallo Faenol!
Nein, der Gauss hilft Dir hier nicht viel, es ist ja ein vollkommen allgemeines LGS... das fuehrt zu einem Wust von Indizes und keinen neuen Erkenntnissen. 
Dieser Ansatz hier ist lohnender:
$W = [mm] \{ x \in \IR^n : Ax = b \}$
[/mm]
Diese Gleichungen kann man ja auch als Matrix schreiben (mit Hilfe der Matrizenmultiplikation).
Und Du sollst jetzt zeigen, dass $W$ genau dann ein Untervektorraum ist, wenn $b = 0$ gilt.
Die eine Richtung ist ganz einfach: angenommen $W$ ist ein Untervektorraum. Dann gilt: $0 [mm] \in [/mm] U$. Und dann folgt: $A [mm] \cdot [/mm] 0 = b$ und daraus folgt $b = 0$.
Die andere Richtung ist etwas schwerer, aber auch nicht unschaffbar. Falls $b = 0$ gilt, lautet Deine Bedingung ja:
$W = [mm] \{ x \in \IR^n : Ax = 0\}$
[/mm]
Kannst Du jetzt zeigen, dass:
i) $0 [mm] \in [/mm] W$
ii) $x,y [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] x + y [mm] \in [/mm] W$
iii) $x [mm] \in [/mm] W, [mm] \lambda \in \IR \Rightarrow \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] W$
?
Viel Erfolg!
Lars
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