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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:21 So 19.11.2006 | | Autor: | studiinnot |
| Aufgabe | In den folgenden Aufgaben bezeichnet V einen Vektorraum über einem (beliebigen) Körper K.
AUFGABE 14 Seien U und W Untervektorräume von V . Zeigen Sie:
a) U [mm] \cap [/mm] W := { v [mm] \in [/mm] V | v [mm] \in [/mm] U und v [mm] \in [/mm] W } ist ein Untervektorraum von V . Dagegen ist U [mm] \cup [/mm] W := { v [mm] \in [/mm] V | v [mm] \in [/mm] U oder v [mm] \in [/mm] W } im Allgemeinen kein Untervektorraum (benutzen Sie als Gegenbeispiel zwei verschiedene Geraden durch 0 im [mm] K^{2} [/mm] ).
b) U + W := { u + w | u [mm] \in [/mm] U, w [mm] \in [/mm] W } ist ein Untervektorraum von V , und zwar der kleinste, der U [mm] \cup [/mm] W umfasst. (Was kommt hier in dem Gegenbeispiel aus a) heraus?)
AUFGABE 15 a) Sei (v, w) ein linear unabhängiges Paar von Vektoren v, w [mm] \in [/mm] V . Zeigen Sie: Das Paar (v, v + w) ist ebenfalls linear unabhängig, das Trio (v, w, v + w) aber linear abhängig.
b) Um festzustellen, ob ein gegebenes System aus n Vektoren des [mm] K^{m} [/mm] linear unabhängig ist, kann man die Vektoren als Spalten [mm] s_{1}, [/mm] . . . , [mm] s_{n} [/mm] in eine Matrix A [mm] \in K^{m×n} [/mm] schreiben und das zugehörige
homogene lineare Gleichungssystem betrachten! Übersetzen Sie die Eigenschaft der linearen Unabhängigkeit von [mm] (s_{1}, [/mm] . . . , [mm] s_{n}) [/mm] in eine Bedingung für Lös (A, 0). Was bedeutet diese Bedingung im Fall, dass A Zeilenstufenform hat, für die Stufenzahl?
AUFGABE 16 Die Menge aller symmetrischen n × n Matrizen
[mm] Sym_{n} [/mm] (K) := { A [mm] \in K^{n×n} [/mm] | [mm] A^{t} [/mm] = A } ist ein Untervektorraum von [mm] K^{n × n} [/mm] (1 Punkt für die Überprüfung). Geben Sie eine Basis von [mm] Sym_{n} [/mm] (K) an (2 weitere Punkte schon mal wenn Sie den Fall n = 2 schaffen natürlich mit Nachweis der Basis-Eigenschaft). |
So ich habe leider das WE nicht mehr sooo viel zeit aber es muss so schnell wie möglich gelöst werden ;)
Bitte helft mir (mal wieder) :)
mfg studi
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Überlege einmal - du schreibst hier ganze Aufgabenkolonnen hin. Wer hat denn Lust, sich das alles durchzulesen? Am besten, du machst dich einmal selber an eine Aufgabe heran. Und wenn du dann irgendwo hängenbleibst, dann stellst du konkret eine Frage.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 So 19.11.2006 | | Autor: | Nansen |
Das Deine Zeit sicher knapp ist, ist verständlich, aber eigentlich ist der Matheraum ja keine Lösungsmaschine ;) er ist vielleicht eher ein Hilfsmotor, der mit Teilergebnissen betrieben wird, die Du schon herausgefunden hast...
Ich will mal was zu A14a) schreiben:
Hier musst Du die Axiome, die ihr für Untervektorräume kennengelernt habt verifizieren:
Sei Z = U [mm] \cap [/mm] W; Behauptung: Z ist ein Untervektorraum von V.
Da U und W Untervektorräume sind, ist 0 [mm] \in [/mm] U und [mm] 0\in [/mm] W also 0 [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W.
Seien nun a,b [mm] \in [/mm] Z und d [mm] \in [/mm] V, dann ist auch a+b [mm] \in [/mm] U und a+b [mm] \in [/mm] W, auch d*a [mm] \in [/mm] U, W, da U und W ja Unterräume sind. Und da a+b, d*a [mm] \in [/mm] W und auch in U sind, muss a+b und d*a auch im Durschnitt U [mm] \cap [/mm] W = Z liegen. Also ist Z ein Untervektorraum.
Als Gegenbeispiel, dass U [mm] \cup [/mm] W kein Vektorraum ist, kannst Du die die Untervektorräume [mm] U_1 [/mm] = {(0,y) [mm] \in \IR^2} [/mm] und [mm] V_1 [/mm] = {(x,0) [mm] \in \IR^2} [/mm] ansehen.
(0,5) [mm] \in U_1 [/mm] und (1,0) [mm] \in V_1, [/mm] aber die Summe von beiden, nämlich (1,5) liegt nicht in der Vereinigung, da sie weder in [mm] V_1, [/mm] noch in [mm] V_2 [/mm] liegt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 So 19.11.2006 | | Autor: | studiinnot |
Ich wollte auch keine kompletten lösungen !!! Nur ansätze beziehungsweie Tipps, weil ich nicht soviel zeit habe das ganze we nachzudenken !! Man kann an so nem Ansatz ja auch 4 std kleben und dazu fehlt mir dieses We echt de zeit, leider !!!
Danke Nansen so komm ich weiter bei 14 :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 So 19.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
dass du wenig Zeit hast ist normal - aber das ist bei uns nicht anders !
Ein wesentlicher Teil besteht nunmal darin, dass du deine Zeit gut einteilen lernst und die Aufgaben hier möglichst ohne Zeitdruck und mit eigenen Ansätzen postest..
aber noch ein paar Tipps:
zur 14b) U+V ist also der von U und V erzeugte (durch alle möglichen Linearkombinationen) Unterraum - also unterraumkriterien nachweisen....
wenn du zwei Geraden als Gegenbeispiel genommen hattest in a), kommt nun natürlich eine Ebene raus (aufgespannt durch beide Richtungsvektoren)
zu 15)
a) was heißt denn linear unabhängig ?!?
angenommen v und (v+w) wären linear abhängig, also es gibt eine nicht-triviale Lösung für : s*v+t*(v+w)=0 , umgeformt ist das aber : (s+t)*v+t*w=0 - was folgt aus der linearen unabhängigkeit von v und w also für deren koeffizienten?
für die vektoren v,w und (v+w) findet sich leicht eine nicht-triviale Lösung...
zu b) sei A mit den Spalten wie angegeben aus den [mm] s_i
[/mm]
was folgt bei linearer unabhängigkeit für die Koeffizienten [mm] x_i [/mm] in :
[mm] x_1*s_1+\ldots +x_n*s_n=0
[/mm]
also Zeilenweise ist das dasselbe wie : A*x=0
(warum ?!? x ist der Vektor aus den [mm] x_i [/mm] und 0 der Nullvektor)
was bedeutet dies also für die Lösung ?!?
Was hat das mit dem rang (durch zeilenstufenform abzulesen) zu tun?
soweit erstmal von mir
viele Grüße
DaMenge
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Hey DaMenge,
Zu 15b)
Wenn ich (A) betrachte:
[mm] (A)=\pmat{ s_{1_{1}} & ... & s_{n_{1}} \\ \vdots & & \vdots \\ s_{1_{m}} & ... & s_{n_{m}}}
[/mm]
Dann kann ich sagen: wenn ich die Matrix in Zeilenstufenform bringe, wird keine Zeile zu 0, da die Vektoren [mm] s_{i} [/mm] linear unabhängig sind. Also ist der Rang = m.
Soll man das so machen, oder bin ich auf nem falschen Weg?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 19.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
naja, wenn du n linear unabhängige Vektoren des [mm] $\IR^m$ [/mm] in die Matrix geschrieben hast, ist der Rang aber n (und die matrix ist eine mxn Matrix und hat damit vollen rang)
man muss hier natürlich nicht die zeilenstufenform berechnen oder so, man muss nur aus der Lösungsmenge den Rang schließen...
viele Grüße
DaMenge
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Hi,
ich bin jetzt auch auf den Rang n gekommen.
Aber ist es mit Lös (A,0)?
Ich bin da soweit gekommen:
[mm] Lös(A,0)=\{ \vektor{0 \\ \vdots \\ 0} + \lambda \vektor{ \* \\ \* \\ \* }| \lambda \in K \}
[/mm]
Das Ortsvektor muss der 0-Vektor sein, da das LGS homogen ist und der Richtungsvektor darf nicht 0 sein, weil das nur für lambda =0 0 sein darf. (Linear unabhängig)
Ist das so weit richtig?
Ich finde nun aber nicht die Verbindung zur Stufenzahl.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 So 19.11.2006 | | Autor: | Nansen |
Noch was zu 16:
Der Nachweis der Untervektorraum-Eigenschaften für die symmetrische Matrix wird Dir nach Aufgabe 14 wahrscheinlich nicht mehr schwerfallen.
Du kannst Dir die Eigenschaften ja erst mal an einer 2x2 Matrix klarmachen:
[mm] \pmat{ a & c \\ c & d } [/mm] + [mm] \pmat{ u & v \\ v & w } [/mm] = [mm] \pmat{ a+u & c+v \\ c+v & d+w }
[/mm]
Du brauchst das nun ja nur noch für eine beliebige nxn Matrix aufschreiben. Ebenso ändert die Skalarmultiplikation nichts an den Symmetrieeigenschaften.
Zur Basis:
Der Raum aller 2x2 Matrizen hat die Elementar-Matrizen
[mm] I_1:= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, I_2:= \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } I_3:= \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } I_4:= \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
als Basis. Nun kannst Du weiter überlegen, dass sämtliche symmetrische 2x2 Matrizen sich durch [mm] a*I_1 [/mm] + [mm] b*(I_2 [/mm] + [mm] I_3) [/mm] + c [mm] *I_4 [/mm] erzeugen lassen, wobei a,b,c [mm] \in \IR [/mm] sind.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:22 Mo 20.11.2006 | | Autor: | lokiht |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit selbiger Aufgabe. Bis auf den letzten Teil habe ich auch alles fertig nur komme ich nicht darauf, Wie die allgemeine Basis für Sym(k) aussehen soll, bzw. wie ich sie genau zu definieren habe.
für n = 2 steht es ja schon geschriben....
Kann ich für den allgemeinen fall die Einheitsvektoren heranziehen also
e1 =(1 0 ... 0), e2 (0 1 0 ....0), en=(0 ... 0 1), wobei die Menge dieser Vektoren dann die basis ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 22.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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