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Hallo!
Ich habe bei folgender Aufgabe nicht einmal den Hauch einer Ahnung, brauche sie leider aber für mein Arbeitsblatt.
Seien V ein Vektorraum über dem Körper K und [mm] U_{1},U_{2} \subset [/mm] V zwei Untervektorräume. Zeige: Es ist genau dann [mm] U_{1} \cup U_{2} [/mm] wieder ein Untervektorraum von V,wenn [mm] U_{1} \subset U_{2} [/mm] oder [mm] U_{2} \subset U_{1} [/mm] gilt.
Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wenn [mm] $U_1 \subset U_2$ [/mm] bzw. [mm] $U_2 \subset U_1$ [/mm] gilt, dann ist es trivial, das [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] ein Unterraum ist, denn dann gilt ja [mm] $U_1 \cup U_2 [/mm] = [mm] U_2$ [/mm] bzw. [mm] $U_1 \cup U_2=U_1$.
[/mm]
Interessanter ist die Umkehrung:
Wäre dem nicht so, dann gäbe es [mm] $u_1 \in U_1 \setminus U_2$ [/mm] und [mm] $u_2 \in U_2 \setminus u_1$. [/mm] Insbesondere gilt [mm] :$u_1 \in U_1 \cup U_2$ [/mm] und [mm] $u_2 \in U_1 \cup U_2$. [/mm] Da [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] ein Unterraum von $V$ ist, muss auch [mm] $u_1+u_2 \in U_1 \cup U_2$ [/mm] gelten, also: [mm] $u_1+u_2 \in U_1$ [/mm] oder [mm] $u_1+u_2 \in U_2$.
[/mm]
Nehmen wir [mm] $u_1+u_2 \in U_1$ [/mm] an, so wäre auch
[mm] $u_2 [/mm] = [mm] (u_1+ u_2) [/mm] - [mm] u_1 \in U_1$,
[/mm]
da [mm] $U_1$ [/mm] ein Unterraum ist, im Widerspruch zu [mm] $u_2 \in U_2 \setminus U_1$.
[/mm]
Ähnlich führt die Annahme [mm] $u_1 [/mm] + [mm] u_2 \in U_2$ [/mm] zu einem Widerspruch.
Liebe Grüße
Stefan
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