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| Aufgabe | Im R³ sei eine Ebene E gegeben durch die lineare Gleichung 4x+3y-2z=6.
Bestimmen Sie durch geeignete Vektorprojektion den Abstand der Ebene vom Ursprung. |
Habe die Lösung vor mir liegen, aber versteh es einfach nicht.
(4,3,-2) ist anscheinend Lotvektor auf der Ebene => warum???
Anschließend wird dieser normiert. Als nächstes sucht man sich einen Lösungsvektor, z.B. (2,0,1) und projeziert diesen auf E und erhält so den gesuchten Abstand.
Ich kann die Vorgehensweise überhaupt nicht nachvollziehen. Warum beginnt man mit (4,3,-2)? Und warum projezier ich den Lösungsvektor auf den Lotvektor, wenn ich doch den Abstand zum Ursprung suche, also (0,0,0)?
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Hallo!
Das mit dem Lotvektort ist recht einfach. Erinnerst du dich an die Normalendarstellung einer Ebene? Das war doch
[mm] $(\vec a-\vec x)*\vec [/mm] n=0$
[mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{n} [/mm] sind Aufpunkt- und Normalenvektor, meistens also gegebene Zahlen. Wenn man das jetzt ausrechnet, bekommt man:
[mm] $\vec a*\vec n-\vec x*\vec [/mm] n=0$
[mm] $\vec a*\vec n=\vec x*\vec [/mm] n$
[mm] $C=xn_1+yn_2+zn_3$
[/mm]
Links steht nun eine Konstante (bei dir 6), und rechts dieser Ausdruck. Die Koeffizienten sind also direkt die Elemente des Normalenvektors.
So, der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene, aber seine Länge ist nicht der Abstand der Ebene!
Man könnte ihn jetzt einfach normieren, dann hat er die Länge 1. Dann wird er mit einer Variablen multipliziert und in die Ebenengleichung eingesetzt, die Variable ist dann direkt die Länge.
Man kann aber auch einen anderen Vektor der Ebene benutzen, und diesen auf den Lotvektor abbilden. Abbilden heißt ja, daß du einen neuen Vektor bekommst, der eben auch parallel zum Lotvektor ist, also senkrecht auf der Ebene steht. Seine Länge entspricht allerdings schon exakt dem Abstand der Ebene vom Ursprung.
Hmh, das ist etwas schwer verständlich, vermutlich kann man das an einer Zeichnung besser verstehen. Sag bescheid, wenn du hiermit nicht klar kommst!
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Danke erstmal!
Dass (4,3,-2) orthogonal zur Ebene steht, habe ich verstanden.
Aber warum ich dann a auf e projeziere ist mir nicht so ganz klar. Habe versucht es mir aufzuzeichnen, aber auch so komm ich irgendwie nicht weiter!
Könnte ich auch so vorgehen?:
L=(0,2,0)+<(1,0,2),(0,2,0)>
Punkt (0,0,0)
Anschließend eine Orthogonalbasis zu (1,0,2) und (0,2,0) erstellen. Und dann (0,-2,0) auf die beiden Orthogonalbasisvektoren projezieren.
So sind wir nämlich in etwa sonst bei Abstandsberechnungen vorgegangen.
Hoffe, du kannst meinen Lösungsvorschlag so verstehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 16.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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