Vektorprodukt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich habe gerade ein Problem mit dem Vektorprodukt
v(t) x a(t) = [mm] e^t \vektor{cos(t) - sin(t) \\ sin(t) + cos(t) \\ 0} [/mm] x [mm] e^t \vektor{ -2*sin(t) \\ 2*cos(t) \\ 0}. [/mm] Das [mm] e^t [/mm] verwirrt mich gerade ziemlich
Kann ich nun sagen:
v(t) x a(t) = [mm] e^t [/mm] * [mm] (\vektor{cos(t) - sin(t) \\ sin(t) + cos(t) \\ 0} [/mm] x [mm] \vektor{ -2*sin(t) \\ 2*cos(t) \\ 0})
[/mm]
gruss Kuriger
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Sa 16.10.2010 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
[mm] $e^t*\vektor{cos(t) - sin(t) \\ sin(t) + cos(t) \\ 0}$ [/mm] heißt, dass du jeden Eintrag des Vektors mit [mm] $e^t$ [/mm] multiplizieren musst. Da der Faktor [mm] $e^t$ [/mm] im Vektorprodukt zweimal vorkommt, hast du insgesamt [mm] $(e^t)^2=e^{2t}$, [/mm] also:
$v(t) [mm] \times [/mm] a(t) = [mm] e^{2t} [/mm] * [mm] \vektor{cos(t) - sin(t) \\ sin(t) + cos(t) \\ 0}\times\vektor{ -2*sin(t) \\ 2*cos(t) \\ 0}$
[/mm]
Das siehst du leicht, wenn du dir die Definition des Vektorprodukts ansiehst.
Gruß,
zetamy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Danke für die Antwort.
leider habe ich da noch ein weiteres Problem. Ich soll die Krümmung ausrechnen.
Die Ausgangsgleichung war.
r(t) = [mm] \vektor{e^t * cos(t) \\ e^t sin(t) \\ 2}
[/mm]
Dazu muss ich u. a. [mm] |v(t)|^3 [/mm] bestimmen
Doch irgendwie wird das sehr unangenehm zum rechnen.
|v(t)| = [mm] \wurzel{(e^t * (cos(t) - sin(t))^2 + (e^t * (sin(t) + cos(t))^2}
[/mm]
oder einfach
|v(t)| [mm] =(e^t [/mm] * (cos(t) - sin(t)) + [mm] (e^t [/mm] * (sin(t) + cos(t)) = [mm] 2e^{t} [/mm] * cos(t)
[mm] |v(t)|^2 [/mm] = [mm] 4e^{2t} [/mm] * [mm] cos^2(t)
[/mm]
[mm] |v(t)|^3 [/mm] = .....
Aber irgendwie passt das was hinten und vorne nicht
In meiner Lösung steht nämlich:
[mm] |v(t)|^2 [/mm] = [mm] e^{2t}* [/mm] 2 = [mm] e^{2t}
[/mm]
[mm] |v(t)|^3 [/mm] = [mm] 2^{3/2} [/mm] * [mm] e^{3t}
[/mm]
Keine Ahnung wie das zustande kommt
Gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
Hallo Kuriger,
> Hallo
>
> Danke für die Antwort.
>
> leider habe ich da noch ein weiteres Problem. Ich soll die
> Krümmung ausrechnen.
>
> Dazu muss ich u. a. [mm]|v(t)|^3[/mm] bestimmen
>
> Doch irgendwie wird das sehr unangenehm zum rechnen.
Na, so schlimm ist es nicht, es hebt sich doch sehr viel weg, außerdem greift der trigon. Pythagoras mal wieder ...
>
> |v(t)| = [mm]\wurzel{(e^t * (cos(t) - sin(t))^2 + (e^t * (sin(t) + cos(t))^2}[/mm]
Nicht ganz, du musst das [mm]e^t[/mm] ja auch mit quadrieren, richtig ist also:
[mm]|v(t)|=\sqrt{e^{2t}\cdot{}(\cos(t)-\sin(t))^2+e^{2t}\cdot{}(\sin(t)+\cos(t))^2}[/mm]
Und hier kannst du erstmal [mm]e^{2t}[/mm] ausklammern und es dann als [mm]e^t[/mm] aus der Wurzel ziehen, das gibt:
[mm]\ldots=e^t\cdot{}\sqrt{(\sin(t)-\cos(t))^2+(\sin(t)+\cos(t))^2}[/mm]
Nun rechne mal die Binome unter der Wurzel aus, es heben sich die gemischten Terme weg, den Rest kannst du schön mit dem trigon. Pythagoras verrechnen.
Mache mal die 2-3 Schritte ..
>
> oder einfach
> |v(t)| [mm]=(e^t[/mm] * (cos(t) - sin(t)) + [mm](e^t[/mm] * (sin(t) +
> cos(t)) = [mm]2e^{t}[/mm] * cos(t)
>
> [mm]|v(t)|^2[/mm] = [mm]4e^{2t}[/mm] * [mm]cos^2(t)[/mm]
> [mm]|v(t)|^3[/mm] = .....
>
> Aber irgendwie passt das was hinten und vorne nicht
>
> In meiner Lösung steht nämlich:
> [mm]|v(t)|^2[/mm] = [mm]e^{2t}*[/mm] 2 = [mm]e^{2t}[/mm]
> [mm]|v(t)|^3[/mm] = [mm]2^{3/2}[/mm] * [mm]e^{3t}[/mm]
>
> Keine Ahnung wie das zustande kommt
Das siehst du, wenn du die Rechnung oben vervollständigst ...
>
> Gruss Kuriger
Zurück
schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
leider komme ich immer noch nicht ans Ziel
= [mm] e^t [/mm] * [mm] \wurzel{sin^2 (t) - cos^2 (t) + sin^2 (t) + 2 * sin(t) * cos(t) + cos^2 (t)}
[/mm]
Nun:
[mm] sin^2 [/mm] (t) + [mm] cos^2 [/mm] (t) = 1
2*sin(t) * cos(t) = sin(2t)
[mm] sin^2 [/mm] (t) - [mm] cos^2 [/mm] (t) = - [mm] (cos^2 [/mm] (t) - [mm] sin^2 [/mm] (t)) = -cos(2t)
also:
[mm] e^t [/mm] * [mm] \wurzel{1 + sin(2t) - cos(2t)}
[/mm]
Wo happerts bei mir?
Danke, Gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Sa 16.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Geh mal ein wenig ruhiger an die Aufgaben. Du hat eine Freqen hier im Forum, dass es schwer ist, alles nachzuvollziehen, was an Tipps kommt.
Du hast:
$ [mm] \ldots=e^t\cdot{}\sqrt{(\sin(t)-\cos(t))^2+(\sin(t)+\cos(t))^2} [/mm] $
Betrachten wir mal nur den Term unter der Wurzel
[mm] (\sin(t)-\cos(t))^2+(\sin(t)+\cos(t))^2
[/mm]
Das mit den binomischen Formeln ergibt:
[mm] (\sin(t)-\cos(t))^{2}+(\sin(t)+\cos(t))^{2}
[/mm]
[mm] =(\sin^{2}(t)-2\sin(t)\cos(t)+\cos^{2}(t)+(\sin^{2}(t)+2\sin(t)\cos(t)+\cos^{2}(t))
[/mm]
[mm] =2(\sin^{2}(t)+\cos^{2}(t))
[/mm]
Jetzt befolge mal den Rat von schachuzipus weiter.
Marius
|
|
|
| |
|
Hallo Marius,
> [mm]=(\sin^{2}(t)-2\sin(t)\cos(t)+\cos^{2}(t)+(\sin^{2}(t)+2\sin(t)\cos(t)+\cos^{2}(t))[/mm]
> [mm]=2(\sin^{2}(t)-\cos^{2}(t))[/mm]
Hier wäre [mm]2(\sin^2(t)\red{+}\cos^2(t))[/mm] "schöner" 
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Sa 16.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo schachuzipus
Danke für den Hinweis, ist schon korrigiert
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Danke, jetzt hats endlich geklappt
Gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Nun werde ich noch mit der Ausrechnung der Torsion beauftragt...
Gemäss resultat ist hier eine Rechnung gar nicht notwendig, "Torsion = 0, da die Kurve immer die Gleichung Höhe hat"
verstehen sollte man das auch noch. Ist das weil die z-Koordinate von r(t) eine Konstante ist?
gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
Hallo Kuriger,
> Nun werde ich noch mit der Ausrechnung der Torsion
> beauftragt...
>
> Gemäss resultat ist hier eine Rechnung gar nicht
> notwendig, "Torsion = 0, da die Kurve immer die Gleichung
> Höhe hat"
> verstehen sollte man das auch noch. Ist das weil die
> z-Koordinate von r(t) eine Konstante ist?
Genau so ist es.
>
> gruss Kuriger
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 So 17.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
oder die Torsion wäre auch Null, wenn anstelle der Z Koordinate die x oder y-Koordinate eine konstante wäre?
Gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
Hallo Kuriger,
> Hallo
>
> oder die Torsion wäre auch Null, wenn anstelle der Z
> Koordinate die x oder y-Koordinate eine konstante wäre?
So ist es.
>
> Gruss Kuriger
Gruss
MathePower
|
|
|
|
