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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Eschi |
| Aufgabe | | Drei (paarweise nicht parallele) Vektoren im [mm] R^3 [/mm] definieren einen Tetraeder. Zeigen Sie: Wird jeder der vier Tetraederflächen ein "nach außen" zeigender Normalenvektor (d.h. ein auf der jeweiligen Fläche senkrecht stehender Vektor) zugeordnet, dessen Länge dem jeweiligen Flächeninhalt entspricht, so verschwindet die Summe dieser 4 Vektoren. Hinweis: Beachten Sie die Rechtsystemeigenschaft des Vektorproduktes! |
Hallo. Ich weiß das ich da irgendwas mit dem Kreuzprodukt allgemein schreiben muss, aber ich bekomme nur lange umformungen hin. Kann mir einer mal eine Lösung anbieten!
Ich danke Euch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nimm an, daß die das Tetraeder aufspannenden Vektoren [mm]\vec{x},\vec{y},\vec{z}[/mm] ein Rechtssystem bilden. Bekanntermaßen berechnet [mm]\frac{1}{2} \, \left| \vec{x} \times \vec{z} \right|[/mm] den Flächeninhalt der von [mm]\vec{x},\vec{z}[/mm] aufgespannten Dreiecksfläche. Die Vektoren [mm]\vec{x},\vec{z}, \frac{1}{2} \, \vec{x} \times \vec{z}[/mm] bilden ein Rechtssystem. Folglich zeigt [mm]\frac{1}{2} \vec{x} \times \vec{z}[/mm] nach außen (ansonsten hätten wir [mm] \vec{x},\vec{z} [/mm] vertauschen müssen). Es ist also der erste gesuchte Vektor.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und jetzt finde analog die anderen drei. Vorsicht! Hier kommt es entscheidend auf die Reihenfolge der Faktoren beim Vektorprodukt an!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 So 18.06.2006 | | Autor: | Eschi |
Danke für die Hilfe, aber ich stehe momentan nebenmir was deine Antwort betrifft. Was ist den jetzt der eigentliche Vektor?, kannst du deinen Weg bitte nochmal ausführlicher beschreiben? Danke
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[mm]\frac{1}{2} \, \vec{x} \times \vec{z}[/mm] ist der Vektor, der auf der linken vorderen Seite des Tetraeders senkrecht steht, nach außen zeigt (also nicht in das Tetraeder hinein) und genau die Maßzahl als Länge hat, die die Dreiecksfläche als Inhalt besitzt (dafür sorgt der Faktor [mm]\frac{1}{2}[/mm], der ansonsten unwichtig ist).
Ich mache noch einen Teil der Aufgabe für dich, den Rest solltest du aber selbst erledigen.
Wie sieht der Vektor aus, der auf der Grundseite des Tetraeders, also der von [mm]\vec{x} ,\vec{y}[/mm] aufgespannten Dreiecksseite, senkrecht steht und die weiteren geforderten Eigenschaften besitzt?
In Frage kommen [mm]\vec{x} \times \vec{y}[/mm] oder [mm]\vec{y} \times \vec{x}[/mm]. Um die Länge kümmern wir uns vorerst nicht.
[mm]\vec{x},\vec{y},\vec{x} \times \vec{y}[/mm] bilden ein Rechtssystem (das ist immer so). Du mußt jetzt das Dreibein mit den umkreisten 1,2,3 so in die Figur hineindenken, daß der Vektor 1 auf [mm]\vec{x}[/mm] und der Vektor 2 auf [mm]\vec{y}[/mm] fällt. Und dann siehst du, daß der Kreuzproduktvektor nach oben zeigt, also in das Tetraeder hinein. Damit ist [mm]\vec{x} \times \vec{y}[/mm] der falsche Vektor. Richtig ist also [mm]\vec{y} \times \vec{x}[/mm] oder gleichbedeutend [mm]- \vec{x} \times \vec{y}[/mm] (wenn du jetzt das Dreibein in die Figur legst, muß 1 wie [mm]\vec{y}[/mm] und 2 wie [mm]\vec{x}[/mm] zeigen, du mußt es also um 180° drehen). Und mit der entsprechenden Länge ist dann
[mm]\frac{1}{2} \, \vec{y} \times \vec{x} = - \frac{1}{2} \, \vec{x} \times \vec{y}[/mm]
der gesuchte Vektor.
Und mit der Rückseite des Tetraeders, die von den Vektoren [mm]\vec{y},\vec{z}[/mm], und der rechten vorderen Seite, die von den Vektoren [mm]\vec{y} - \vec{x}, \vec{z} - \vec{x}[/mm] aufgespannt wird, geht es entsprechend. Wenn die eine Reihenfolge beim Kreuzprodukt nicht die richtige ist, muß es halt die andere sein.
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