www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Vektorpotential u. Biot-Savart
Vektorpotential u. Biot-Savart < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vektorpotential u. Biot-Savart: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Di 15.02.2011
Autor: qsxqsx

Hallo,

Da es eine im Grunde mathematische Frage ist, hab ich sie nicht zum Elektrotechnikforum zugeordnet. Es geht darum, ob ich es richtig berechnet habe. Bitte um drüberschauen.

Die allgemeine Formel für das Magnetfeld in der Magnetostatik ist (Biot-Savart):
B(r) = [mm] \bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{j(r')\times(r'-r) }{|r-r'|^{3}}d^{3}\tau'} [/mm]

Jetzt hat man das Vektorpotential A eingeführt,
A = [mm] \bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{j(r') }{|r-r'|}d^{3}\tau'} [/mm]
womit sich B durch B = rot A berechnen lässt.
Und r ist ein Vektor r:= (x,y,z).
Und j(r') := [mm] \vektor{j_{1}(x,y,z) \\ j_{2}(x,y,z) \\ j_{3}(x,y,z)} [/mm]
Und [mm] (\bruch{j(r') }{|r-r'|})_{x} [/mm] = [mm] \bruch{j_{1}(x,y,z) }{\wurzel{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}} [/mm]

Ich will jetzt gerne die x-Komponente von rot A bzw. B berechnen, um zu sehen ob das richtige rausspringt:

[mm] B_{x} [/mm]
=(rot [mm] A)_{x} [/mm]
= rot [mm] \bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{j(r') }{|r-r'|}d^{3}\tau'}_{x} [/mm]
= [mm] \bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{rot \bruch{j(r') }{|r-r'|}d^{3}\tau'}_{x} [/mm]
= [mm] \bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{\bruch{dj_{3}}{dy} - \bruch{dj_{2}}{dz}}{|r-r'|} - \bruch{j_{3}(y-y') - j_{2}(z-z') }{|r-r'|^{3}}d^{3}\tau'} [/mm]

Und jetzt hab ich zwei unklarheiten:
1. Ich bin nicht sicher ob ich rot in das Integralziehen darf (wahrscheinlich nur weil über den ganzen(!) [mm] \IR^{3} [/mm] integriert wird?). Habe mir einfach gedacht das macht sicher Sinn... wieso darf man das?
2. Wenn es stimmt was ich bisher gemacht habe, muss durch vergleichen [mm] \integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{\bruch{dj_{3}}{dy} - \bruch{dj_{2}}{dz}}{|r-r'|} d^{3}\tau'} [/mm] = 0 sein. Wenn das so ist, dann ist es richtig.
Ist das wirklich Null?

Danke. Gruss


        
Bezug
Vektorpotential u. Biot-Savart: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Di 15.02.2011
Autor: Lippel

Hallo,

> Die allgemeine Formel für das Magnetfeld in der
> Magnetostatik ist (Biot-Savart):
>  B(r) =
> [mm]\bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{j(r')\times(r'-r) }{|r-r'|^{3}}d^{3}\tau'}[/mm]
>  
> Jetzt hat man das Vektorpotential A eingeführt,
> A =
> [mm]\bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{j(r') }{|r-r'|}d^{3}\tau'}[/mm]
>  
> womit sich B durch B = rot A berechnen lässt.
> Und r ist ein Vektor r:= (x,y,z).
> Und j(r') := [mm]\vektor{j_{1}(x,y,z) \\ j_{2}(x,y,z) \\ j_{3}(x,y,z)}[/mm]
>  
> Und [mm](\bruch{j(r') }{|r-r'|})_{x}[/mm] = [mm]\bruch{j_{1}(x,y,z) }{\wurzel{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}[/mm]
>  
> Ich will jetzt gerne die x-Komponente von rot A bzw. B
> berechnen, um zu sehen ob das richtige rausspringt:
>  
> [mm]B_{x}[/mm]
>  =(rot [mm]A)_{x}[/mm]
>  = rot
> [mm]\bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{j(r') }{|r-r'|}d^{3}\tau'}_{x}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{rot \bruch{j(r') }{|r-r'|}d^{3}\tau'}_{x}[/mm]
>  
> =
> [mm]\bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{\bruch{dj_{3}}{dy} - \bruch{dj_{2}}{dz}}{|r-r'|} - \bruch{j_{3}(y-y') - j_{2}(z-z') }{|r-r'|^{3}}d^{3}\tau'}[/mm]
>  
> Und jetzt hab ich zwei unklarheiten:
>  1. Ich bin nicht sicher ob ich rot in das Integralziehen
> darf (wahrscheinlich nur weil über den ganzen(!) [mm]\IR^{3}[/mm]
> integriert wird?). Habe mir einfach gedacht das macht
> sicher Sinn... wieso darf man das?

Springender Punkt ist, dass du sowohl ungestrichene Koordinaten als auch gestrichene Koordinaten betrachtest. Integriert wird über gestrichene Koordinaten, während der Nablaoperator aus der Rotation nur auf die ungestrichenenKoordinaten wirkt, d.h. hier [mm] :$\nabla [/mm] = [mm] \pmat{\partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z}$ [/mm] und nicht [mm] $\nabla [/mm] = [mm] \pmat{\partial_{x'} \\ \partial_{y'} \\ \partial_{z'}}$. [/mm]
Dies ist der Grund warum du Integration und Rotation vertauschen kannst. Sie beziehen sich auf unabhängige Koordinaten.

>  2. Wenn es stimmt was ich bisher gemacht habe, muss durch
> vergleichen
> [mm]\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{\bruch{dj_{3}}{dy} - \bruch{dj_{2}}{dz}}{|r-r'|} d^{3}\tau'}[/mm]
> = 0 sein. Wenn das so ist, dann ist es richtig.
> Ist das wirklich Null?

Ja, denn j ist hier Funktion der gestrichenen Koordinaten, damit sind die partiellen Ableitungen nach den ungestrichenen Koordinaten 0.

Du musst übrigens noch beachten, dass in den obegen Formeln j, r und r' Vektoren sind, oder hast du die Pfeile extra weggelassen?

LG Lippel


Bezug
                
Bezug
Vektorpotential u. Biot-Savart: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:43 Di 15.02.2011
Autor: qsxqsx

Hallo,

Danke. Stimmt ja... A ist eine Funktion von r (und nicht von r'). Darum ist bei mir rot A auch falsch herausgekommen.

rot [mm] \bruch{j(r') }{|r-r'|} [/mm] = [mm] \vektor{- (j_{3}(y-y') - j_{2}(z-z') ) \\ (j_{3}(x-x') - j_{1}(z-z')) \\ - (j_{2}(x-x') - j_{1}(y-y'))}*\bruch{1}{|r-r'|^{3}} [/mm]

Ja, r',r,j sind Vektoren. In meinem Buch bin ich schon froh wenn überhaupt erwähnt wird, was man überhaupt berechnet geschweige denn wenn angegeben wird, dass es Vektoren sind. Darum hab ich mir angewöhnt es auch nicht mehr anzugeben...

Gruss

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]