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| Aufgabe | Die Punkte Sx, Sy, Sz mit
Sx(2|0|0)
Sy(0|4|0)
Sz(0|0|6)
und der Ursprung sind Eckpunkte einer Pyramide (unregelmässiger Tetraeder). Gesucht ist:
a) der Radius r der Kugel, welche alle Seiten von innen berührt
b) der Punkt P, in welchem die Kugel die Ebene E: 6x+3y+2z-12=0 berührt |
Habe die vier Ebenengleichungen aufgestellt und versuchte, ihre HNF-Gleichungen mit Hilfe des TI-89 gleichzusetzen. Dabei kam aber nichts gescheites heraus (Z.B. x=|z| and y=-|z| and ...). Dann versuchte ich, den Mittelpunkt der Kugel über die winkelhalbierenden Ebenen zu finden (M= Schnittpunkt der winkelhalbierenden Ebenen). Doch auch hier streikte mein TI-89. Gibt es noch einen anderen Weg, r respektive M zu ermitteln?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Di 16.03.2010 | | Autor: | weduwe |
a) typisch HNF mit M(r/r/r)
das setzt du in E ein.
M muß auf derselben seite wie O liegen
b) lot von M auf E
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Bin nun davon ausgegangen, dass die 3 Koordinaten von M den gleichen Wert haben. Bekomme nun für M(12/11,12/11,12/11). Dieser Punkt liegt aber auf der 4. Tetraederebene ( E4:24x+12y+8z-48=0), kann also nicht M sein. was nun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Di 16.03.2010 | | Autor: | weduwe |
> Bin nun davon ausgegangen, dass die 3 Koordinaten von M
> den gleichen Wert haben. Bekomme nun für
> M(12/11,12/11,12/11). Dieser Punkt liegt aber auf der 4.
> Tetraederebene ( E4:24x+12y+8z-48=0), kann also nicht M
> sein. was nun?
ohne deine rechnung hat nur eine/e wahrsager/in eine chance.
ich erhalte mit der HNF
[mm] M(\frac{2}{3}/\frac{2}{3}/\frac{2}{3})
[/mm]
(die 4.tetraederebene könnte man noch durch 4 kürzen und mit E vergleichen  )
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wie kommst du auf die 2/3?
könntest du mir mal deine rechenschritte aufschreiben?
meine sind E: [mm] \bruch{6x+3x+2x-12}{\wurzel[1]{6^2+3^2+2^2}}=0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Di 16.03.2010 | | Autor: | weduwe |
> wie kommst du auf die 2/3?
> könntest du mir mal deine rechenschritte aufschreiben?
>
> meine sind E:
> [mm]\bruch{6x+3x+2x-12}{\wurzel[1]{6^2+3^2+2^2}}=0[/mm]
wie oben schon erwähnt - auch wenn es genauso langweilig ist, wie V und O eines tetraeders zu berechnen , aber wesentlich schneller:
M(r/r/r) in die HNF einsetzen ergibt:
[mm]\bruch{6r+3r+2r-12}{\wurzel[1]{6^2+3^2+2^2}}=\pm r[/mm]
welche lösung die richtige ist, steht oben
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danke für die Hilfe
nun habe ich aber noch eine frage zur aufgabe b.
stimmt der punkt P(16/3,7/3,4/3)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Di 16.03.2010 | | Autor: | abakus |
> danke für die Hilfe
>
> nun habe ich aber noch eine frage zur aufgabe b.
> stimmt der punkt P(16/3,7/3,4/3)?
Teste selbst:
1) Liegt dieser Punkt in E?
2) Hat er von M den Abstand 2/3?
Gruß Abakus
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nein leider nicht.
aber ich verstehe nicht was mein fehler war.
habe den gesuchten punkt p (p1,p2,p3) als anfangsvektor genommen und die negative normale als richtungsvektor mit dem k 2/3 (weil das der radius ist) und das gleich dem mittelpunkt des kreises M(2/3,2/3,2/3)
(irgendwie finde ich bei den eingabenhilfe keinen 3er vektor)
(2/3,2/3,2/3)=(p1,p2,p3)-2/3*(6,3,2)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Di 16.03.2010 | | Autor: | abakus |
> nein leider nicht.
>
> aber ich verstehe nicht was mein fehler war.
> habe den gesuchten punkt p (p1,p2,p3) als anfangsvektor
> genommen und die negative normale als richtungsvektor mit
> dem k 2/3 (weil das der radius ist) und das gleich dem
> mittelpunkt des kreises M(2/3,2/3,2/3)
>
> (irgendwie finde ich bei den eingabenhilfe keinen 3er
> vektor)
> (2/3,2/3,2/3)=(p1,p2,p3)-2/3*(6,3,2)
Hallo,
deine Ebene 6x+3y+2z-12=0 hat den Normalenvektor [mm] \vektor{6 \\ 3\\2}.
[/mm]
Eine Gerade durch M mit diesem Richtungsvektor schneidet deine Ebene im gesuchten Punkt.
Gruß Abakus
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habe ich ja gemacht.
verstehe es immer noch nicht? stimmt denn das k nicht? ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Di 16.03.2010 | | Autor: | abakus |
> habe ich ja gemacht.
> verstehe es immer noch nicht? stimmt denn das k nicht? ???
Der von mit angegebene Normalenvektor hat den Betrag [mm] \wurzel{49}=7.
[/mm]
Um den auf die Länge 2/3 zu bringen, musst du den Richtungsvektor mit [mm] \bruch{2}{3}*\bruch{1}{7} [/mm] (also mit [mm] \bruch{2}{21}) [/mm] multiplizieren.
Gruß Abakus
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| Aufgabe | Aufgabe d) die von Sy,Sx,Sz gebildeten Seitenfläche sei um die Achse (SySz) aufklappbar. IN einer bestimmten Position wird diese Klappe festgehalten und liegt dann in einer Ebene Eb. Diese schneidet die X-Achse i P(b/0/0).
1. Stelle die Koordinatengleichung von Eb auf.
2. Der Luftballon aus c) wird weiter aufgeblasen und berührt immer noch alle vier Seitenflächen. Dabei platzt er, wenn er den Radius 1 erreicht hat. Berechne für den zugehörigen Punkt P die erste Koordinate b.
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Habe die Ebenengleichung aufgestellt:
[mm] \overrightarrow{SySz}\times\overrightarrow{SyP}=\vektor{24\\6b\\4b}
[/mm]
Sz einsetzten dann weiss man dass d=-24b sein muss
also ist Eb: 24x+6b*y+4b*z-24b=0
doch wie komm ich dann weiter?
(die vorherige Aufgabe habe ich lösen können)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Di 16.03.2010 | | Autor: | weduwe |
befolge doch einfach die anleitung von abakus
[mm] \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{7}\vektor{6\\3\\2}
[/mm]
oder scneide die lotgerade mit E, wie auch schon des öfteren angeführt
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die andere Aufgabe habe ich ja lösen können mit der Lotgerade. Aber das jetzt ist eine neue Teilaufgabe. Kann man das hier auch so machen? oder wie?
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| Aufgabe | Aufgabe
Aufgabe d) die von Sy,Sx,Sz gebildeten Seitenfläche sei um die Achse (SySz) aufklappbar. IN einer bestimmten Position wird diese Klappe festgehalten und liegt dann in einer Ebene Eb. Diese schneidet die X-Achse i P(b/0/0).
1. Stelle die Koordinatengleichung von Eb auf.
2. Der Luftballon aus c) wird weiter aufgeblasen und berührt immer noch alle vier Seitenflächen. Dabei platzt er, wenn er den Radius 1 erreicht hat. Berechne für den zugehörigen Punkt P die erste Koordinate b. |
Habe die Ebenengleichung aufgestellt:
$ [mm] \overrightarrow{SySz}\times\overrightarrow{SyP}=\vektor{24\\6b\\4b} [/mm] $
Sz einsetzten dann weiss man dass d=-24b sein muss
also ist Eb: 24x+6b*y+4b*z-24b=0
doch wie komm ich dann weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Di 16.03.2010 | | Autor: | weduwe |
> Aufgabe
> Aufgabe d) die von Sy,Sx,Sz gebildeten Seitenfläche sei
> um die Achse (SySz) aufklappbar. IN einer bestimmten
> Position wird diese Klappe festgehalten und liegt dann in
> einer Ebene Eb. Diese schneidet die X-Achse i P(b/0/0).
> 1. Stelle die Koordinatengleichung von Eb auf.
> 2. Der Luftballon aus c) wird weiter aufgeblasen und
> berührt immer noch alle vier Seitenflächen. Dabei platzt
> er, wenn er den Radius 1 erreicht hat. Berechne für den
> zugehörigen Punkt P die erste Koordinate b.
> Habe die Ebenengleichung aufgestellt:
>
> [mm]\overrightarrow{SySz}\times\overrightarrow{SyP}=\vektor{24\\6b\\4b}[/mm]
> Sz einsetzten dann weiss man dass d=-24b sein muss
> also ist Eb: 24x+6b*y+4b*z-24b=0
>
> doch wie komm ich dann weiter?
entschuldige, das habe ich nicht gesehen.
geht wie vorher
unter der voraussetzung deine (neue) ebene stimmt,
dann kannst du aus
[mm] \frac{12+3b+2b-12b}{\sqrt{144+13b^2}}=\pm [/mm] 1
b berechnen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Mi 17.03.2010 | | Autor: | weduwe |
der vollständigkeit halber der weg von abakus
[mm]r=\frac{3V}{O}[/mm]
[mm]V=\frac{abc}{6}=8[/mm]
[mm]O=6+4+12+14=36[/mm]
die letzte fläche berechnet man am einfachsten mit [mm]A=\frac{ab}{2}\cdot sin\gamma}[/mm] und [mm] \gamma [/mm] mit hilfe des skalarproduktes
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Di 16.03.2010 | | Autor: | abakus |
> a) typisch HNF mit M(r/r/r)
> das setzt du in E ein.
Hallo,
das ist sicher das Standardverfahren (und deshalb langweilig).
Für Interessierte:
So wie man im Dreieck den Flächeninhalt aus Umfang und Inkreisradius berechnen kann, kann man von einem Tetraeder das Volumen aus Inkugelradius und Oberflächeninhalt ermitteln.
Umgekehrt erhält man den Inkugelradius aus Volumen und Oberflächeninhalt.
Gruß Abakus
> M muß auf derselben seite wie O liegen
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> b) lot von M auf E
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