www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differentiation" - Vektorfeld=Gradientenfeld?
Vektorfeld=Gradientenfeld? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vektorfeld=Gradientenfeld?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Sa 15.11.2014
Autor: Teryosas

Aufgabe
Handelt es sich bei den Vektorfeldern
a) F: [mm] \IR^3 \to \IR^3, (x,y,z)\mapsto(z,x,y) [/mm]
b) F: [mm] \IR^3 \to \IR^3, (x,y,z)\mapsto(yz, [/mm] zx, xy)
um Gradientenfelder? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Potentiale

Hey,
Als erstes hoffe ich das mit dem Thema hier im Thread richtig bin?
Falls nicht dürft ihr mich gerne drauf aufmerksam machen/verschieben.

Wir haben nun ein neues Thema und bin mal gespannt ob ich das verstanden hab^^
Wir sollen bestimmen ob es sich bei Vektorfeldern um Gradientenfelder handelt.
Bei [mm] \IR^2 [/mm] ist es ja noch relativ einfach für F(x,y) = [mm] \vektor{x\\y} [/mm]
Ich vergleiche ob die partiellen Ableitungen gleich sind
[mm] \bruch{\partial F_{1}}{\partial y} [/mm] = 0 = [mm] \bruch{\partial F_{2}}{\partial x} [/mm]
Also von dem den x-Wert nach y ableiten und den y-Wert nach x ableiten

Bei [mm] \IR^3 [/mm] scheint das wohl ein bisschen umfangreicher zu sein, daher habe ich mal 2 Beispiele mitgebracht.

zu a)
es muss gelten:
[mm] \bruch{\partial F_{1}}{\partial y}=\bruch{\partial F_{2}}{\partial x} [/mm]
und
[mm] \bruch{\partial F_{1}}{\partial z}=\bruch{\partial F_{3}}{\partial x} [/mm]
und
[mm] \bruch{\partial F_{2}}{\partial z}=\bruch{\partial F_{3}}{\partial y} [/mm]

Hier ist kein Gradientenfeld vorhanden, da :
0 [mm] \not= [/mm] 1
und
1 [mm] \not= [/mm] 0
und
0 [mm] \not= [/mm] 1
Hier ist jede der 3 Bedingungen nicht erfüllt.
entsprechend gäbe es auch kein Potential

b)
Hier gibt es ein Gradientenfeld, da:
z=z
und
y=y
und
x=x

Hier gibt es nun auch ein Potential. Im Folgenden werde ich versuchen dieses herauszufinden:
Das Vektorfeld kürze ich ab hier mit [mm] \vec{v} [/mm] ab und das Potential nenne ich p.

Es muss gelten: [mm] \vec{v} [/mm] = -grad p
Daraus ergibt sich:
[mm] \vektor{yz \\ zx \\ xy} [/mm] = - [mm] \vektor{\bruch{\partial p(x,y,z)}{\partial x}\\ \bruch{\partial p(x,y,z)}{\partial y} \\ \bruch{\partial p(x,y,z)}{\partial z}} [/mm]

Ab Hier weiß ich allerdings nicht genau weiter...
kann mir da vllt bitte jemand weiterhelfen?

        
Bezug
Vektorfeld=Gradientenfeld?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 Sa 15.11.2014
Autor: leduart

Hallo
du weisst [mm] \bruch{\partial p}{\partial x}=yz [/mm]
[mm] p=\integral [/mm] yzdx=xyz+C(y,z)
damit [mm] \bruch{\partial p}{\partial y}= xz+\bruch{\partial C(y,z)}{\partial y}=zx [/mm]
damit [mm] p=xyz+C_1(z) [/mm]
jetzt noch [mm] \bruch{\partial p}{\partial z} [/mm] und du hast das Potential, das man hier auch leicht raten konnte
P=x*y*z+C
fas Vorgehen hab ich nur gezeigt, weil man nicht immer P so leicht raten und dann bestätigen kann.
Gruß leduart


Bezug
                
Bezug
Vektorfeld=Gradientenfeld?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Sa 15.11.2014
Autor: Teryosas

Alles kla Danke.
glaub das hab ich dann raus.
Man muss praktisch zusehen dass das c nicht mehr von etwas abhängig ist.

Danke!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]