Vektorfeld < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Di 16.02.2010 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | Gegeben sei auf dem Gebiet G:= [mm] R^2 [/mm] das Vektorfeld $ [mm] \vec [/mm] f : G [mm] \rightarrow R^2 [/mm] $ durch
$ [mm] \vec [/mm] f (x,y) = [mm] \vektor{ 2xy * e^{x^2 +y} \\ e^y (1 + e^{x^2} +y * e^{x^2} ) } [/mm] $
Sei $ [mm] \Gamma [/mm] $ eine Kurve mit den Endpunkten A(1,0) und B(0,1). Berechnen sie den Wert de Kurvenintegrals $ [mm] \int_{\Gamma : A \rightarrow B} \vec [/mm] f [mm] (\vec [/mm] x) * [mm] \mathrm [/mm] d [mm] \vec [/mm] x $ |
Hallo,
ich hatte mir überlegt das zu lösen über $ [mm] \int^C \left [ F_1 (x,y) dx + F_2(x,y) dy \right [/mm] ] $ (Formel hab ich aus dem Papula)
Wobei dann $ [mm] F_1 [/mm] = 2xy * [mm] e^{x^2 +y} [/mm] $ und $ [mm] F_2 [/mm] = [mm] e^y [/mm] (1 + [mm] e^{x^2} [/mm] +y * [mm] e^{x^2} [/mm] ) $
Weiter steht dann dort ich solle y duch f(x) ersetzen und dy duch $ f'(x) * [mm] \mathrm [/mm] dx $
Komme ich damit überhaupt weiter?
Es wird auch noch angeboten $ [mm] \int_{t_1}^{t_2} (F_1 [/mm] * [mm] \dot [/mm] x + [mm] F_2 \dot [/mm] y ) [mm] \mathrm [/mm] dt $
Mit Feldvektor $ [mm] \vec [/mm] F (x,y) = [mm] \vektor{F_1 (x;y) \\ F_2 (x;y) } [/mm] $ bei dem man die Koordinaten der Reihen nach durch parameterabhängige Koordinaten x(t) , y(t) der Raumkurve C ersetzen soll.
Was mach ich jetzt?
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
1. Schau Dir noch mal an, wie ein Kurvenintegral def. ist
2. Das gegebene Vektorfeld besitzt eine Stammfunktion
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Guten Morgen!
Hab mir das mit den Kurvenintegralen schon angeschaut, unter anderem gäbs als Definition auch das hier (Wikipedia)
Im mehrdimensionalen Raum ist, anschaulich erklärt, ein Kurvenintegral der Inhalt derjenigen Fläche, die von der Funktion aufgespannt wird, deren Werte sich aus den von Weg- und Kraftvektor aufgespannten Flächen (Skalarprodukt) in jedem Punkt der betrachteten Kurve ergeben.
2. Muss ich also ganz gewöhnlich eine Stammfunktion finden? Aus [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] ?
Hmm in anderen Aufgaben werden einfach die Werte für x und y parametisiert und dann über $ [mm] \int^C \vec [/mm] f [mm] (\vec {\gamma} [/mm] (t) ) * [mm] \dot {\vec {\gamma}}(t) [/mm] dt $ eingesetzt.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen!
>
> Hab mir das mit den Kurvenintegralen schon angeschaut,
> unter anderem gäbs als Definition auch das hier
> (Wikipedia)
>
> Im mehrdimensionalen Raum ist, anschaulich erklärt, ein
> Kurvenintegral der Inhalt derjenigen Fläche, die von der
> Funktion aufgespannt wird, deren Werte sich aus den von
> Weg- und Kraftvektor aufgespannten Flächen (Skalarprodukt)
> in jedem Punkt der betrachteten Kurve ergeben.
>
>
>
> 2. Muss ich also ganz gewöhnlich eine Stammfunktion
> finden? Aus [mm]F_1[/mm] und [mm]F_2[/mm] ?
Bestimme eine reellwertige Funktion F so, dass [mm] F_x [/mm] = [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_y [/mm] = [mm] F_2
[/mm]
>
> Hmm in anderen Aufgaben werden einfach die Werte für x und
> y parametisiert und dann über [mm]\int^C \vec f (\vec {\gamma} (t) ) * \dot {\vec {\gamma}}(t) dt[/mm]
> eingesetzt.
Ist Dir nicht bekannt, wie man ein Kurvenintegral berechnet, wenn eine Stammfunktion vorhanden ist ?
FRED
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Also, habe die Stammfunktion bestimmt
$ y* [mm] e^{x^2 + y} [/mm] + [mm] e^y [/mm] +c $
Zu deiner zweiten Frage: Würde die Stammfunktion nun einfach nehmen und die gegebenen Werte einsetzen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Dann mach mal...
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Ah, ok danke!
|
|
|
|
