Vektorfeld < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 So 13.01.2008 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | Wir möchten die Zirkulation [mm] I:=\integral_{0}^{2\pi}{V(C(t)) \bruch{dC}{dt}(t) dt} [/mm] des Vektorfelds
V(x,y,z):= [mm] \vektor{y^2+z^2 \\ z^2+x^2 \\ x^2+y^2} [/mm] entlang der Kurve C berechnen. Diese ist gegeben durch:
x(t) = cos(t) , y(t)= 1 + sin(t) , z(t) = [mm] \wurzel{2}(sin(\bruch{t}{2}) [/mm] + [mm] cos(\bruch{t}{2})) [/mm] ,
für t [mm] \in [0,2\pi].
[/mm]
Man kann zeigen, dass der Satz von Stokes für C wahr ist.
a) Zeigen Sie, dass C eine Teilmenge der Kugel B( (0,2,0) , 2 ) ist.
b) Schreiben Sie das Integral, gegeben durch die Zirkulation von V entlang C.
c) Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Stokes, dass [mm] \integral_{C}{x^2dx+y^2dy+z^2dz}=0
[/mm]
d) Leiten Sie her, dass I = 4 [mm] \integral_{C}{y(dx+dy+dz)}
[/mm]
e) Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Stokes, dass [mm] \integral_{C}{y dy} [/mm] = 0 und dass [mm] \integral_{C}^{}{y dz} [/mm] = 0 (Tipp: [mm] z^2 [/mm] = 2y)
f) Leiten Sie den Wert von I her. |
Hallo Leute,
ich weiß, die Aufgabe ist ziemlich lang, aber vielleicht kann mir trotzdem jemand einen Tipp zu der ein oder anderen Teilaufgabe geben...
zur b):
V(C(t)) = [mm] \vektor{(1+sin(t)^2 + [\wurzel{2}(sin(\bruch{t}{2})+cos(\bruch{t}{2})]^2 \\ [\wurzel{2}(sin(\bruch{t}{2})+cos(\bruch{t}{2})]^2 + cos^2(t) \\ cos^2(t)+(1+sin(t))^2} [/mm] = [mm] \vektor{2sin(t)+sin^2(t)+3+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2}) \\ 2+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2})+cos^2(t) \\ 1+2sin(t)}
[/mm]
und:
C= [mm] \vektor{cos(t) \\ 1+sin(t) \\ \wurzel{2}(sin(\bruch{t}{2})+cos(\bruch{t}{2})}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{dC}{dt}(t) [/mm] = [mm] \vektor{-sin(t) \\ cos(t)\\ \bruch{cos(\bruch{t}{2})-sin(\bruch{t}{2})}{\wurzel{2}}}
[/mm]
also:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{V(C(t)) \bruch{dC}{dt}(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{ \vektor{2sin(t)+sin^2(t)+3+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2}) \\ 2+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2})+cos^2(t) \\ 1+2sin(t)} \vektor{-sin(t) \\ cos(t)\\ \bruch{cos(\bruch{t}{2})-sin(\bruch{t}{2})}{\wurzel{2}}} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi} [-sin(t)(2sin(t)+sin^2(t)+3+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2})) [/mm] + [mm] cos(t)(2+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2})+cos^2(t)) [/mm] + [mm] (1+2sin(t))(\bruch{cos(\bruch{t}{2})-sin(\bruch{t}{2})}{\wurzel{2}} [/mm] )] dt
Kann das soweit überhaupt stimmen? Kann doch nicht sein, dass ich das bei der f) integrieren soll...
Gruß
Marty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 13.01.2008 | | Autor: | Marty |
ich habe noch etwas zur c) gerechnet:
[mm] \integral_{C} x^2 [/mm] dx + [mm] y^2 [/mm] dy + [mm] z^2 [/mm] dz = [mm] \integral_{C} [/mm] 2x dx [mm] \wedge [/mm] dx + 2y dy [mm] \wedge [/mm] dy + 2z dz [mm] \wedge [/mm] dz = 0
Stimmt das?
Bei der d) finde ich leider beim besten Willen keinen Ansatz!
zur e):
[mm] \integral_{C} [/mm] y dy = [mm] \integral_{C} [/mm] 1 dy [mm] \wedge [/mm] dy = 0
aber bei [mm] \integral_{C}y [/mm] dz komme ich nicht weiter. Dafür soll man wohl den Tipp verwenden, ich verstehe nur nicht wie...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 So 13.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich habe noch etwas zur c) gerechnet:
> [mm]\integral_{C} x^2[/mm] dx + [mm]y^2[/mm] dy + [mm]z^2[/mm] dz = [mm]\integral_{C}[/mm] 2x
> dx [mm]\wedge[/mm] dx + 2y dy [mm]\wedge[/mm] dy + 2z dz [mm]\wedge[/mm] dz = 0
> Stimmt das?
Sieht gut aus.
> Bei der d) finde ich leider beim besten Willen keinen Ansatz!
Benutze das Ergebnis von a): [mm] x^2+(y-2)^2+z^2 = 4[/mm].
> zur e):
> [mm]\integral_{C}[/mm] y dy = [mm]\integral_{C}[/mm] 1 dy [mm]\wedge[/mm] dy = 0
> aber bei [mm]\integral_{C}y[/mm] dz komme ich nicht weiter. Dafür
> soll man wohl den Tipp verwenden, ich verstehe nur nicht
> wie...
[mm] \integral_{C}y dz = \bruch{1}{2} \integral_C z^2 dz[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 So 13.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wir möchten die Zirkulation [mm]I:=\integral_{0}^{2\pi}{V(C(t)) \bruch{dC}{dt}(t) dt}[/mm]
> des Vektorfelds
> V(x,y,z):= [mm]\vektor{y^2+z^2 \\ z^2+x^2 \\ x^2+y^2}[/mm] entlang
> der Kurve C berechnen. Diese ist gegeben durch:
> x(t) = cos(t) , y(t)= 1 + sin(t) , z(t) =
> [mm]\wurzel{2}(sin(\bruch{t}{2})[/mm] + [mm]cos(\bruch{t}{2}))[/mm] ,
> für t [mm]\in [0,2\pi].[/mm]
> Man kann zeigen, dass der Satz von
> Stokes für C wahr ist.
> a) Zeigen Sie, dass C eine Teilmenge der Kugel B( (0,2,0)
> , 2 ) ist.
> b) Schreiben Sie das Integral, gegeben durch die
> Zirkulation von V entlang C.
> c) Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Stokes, dass
> [mm]\integral_{C}{x^2dx+y^2dy+z^2dz}=0[/mm]
> d) Leiten Sie her, dass I = 4 [mm]\integral_{C}{y(dx+dy+dz)}[/mm]
> e) Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Stokes, dass
> [mm]\integral_{C}{y dy}[/mm] = 0 und dass [mm]\integral_{C}^{}{y dz}[/mm] = 0
> (Tipp: [mm]z^2[/mm] = 2y)
> f) Leiten Sie den Wert von I her.
> Hallo Leute,
> ich weiß, die Aufgabe ist ziemlich lang, aber vielleicht
> kann mir trotzdem jemand einen Tipp zu der ein oder anderen
> Teilaufgabe geben...
Zunächst: hast du Teil a) ausgerechnet? Dann hast du doch die Gleichung
[mm] x^2 + (y-2)^2 +z^2 = 4 [/mm].
Damit kannst du V(C(t)) deutlich vereinfachen.
> zur b):
> V(C(t)) = [mm]\vektor{(1+sin(t)^2 + [\wurzel{2}(sin(\bruch{t}{2})+cos(\bruch{t}{2})]^2 \\ [\wurzel{2}(sin(\bruch{t}{2})+cos(\bruch{t}{2})]^2 + cos^2(t) \\ cos^2(t)+(1+sin(t))^2}[/mm]
> =
> [mm]\vektor{2sin(t)+sin^2(t)+3+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2}) \\ 2+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2})+cos^2(t) \\ 1+2sin(t)}[/mm]
Als Erstes setze mal [mm] 2\sin(t/2)\cos(t/2) = \sin t [/mm] ein, dann werden deine Ausdrücke sehr viel einfacher.
> und:
>
> C= [mm]\vektor{cos(t) \\ 1+sin(t) \\ \wurzel{2}(sin(\bruch{t}{2})+cos(\bruch{t}{2})}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{dC}{dt}(t)[/mm] = [mm]\vektor{-sin(t) \\ cos(t)\\ \bruch{cos(\bruch{t}{2})-sin(\bruch{t}{2})}{\wurzel{2}}}[/mm]
>
> also:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{V(C(t)) \bruch{dC}{dt}(t) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ \vektor{2sin(t)+sin^2(t)+3+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2}) \\ 2+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2})+cos^2(t) \\ 1+2sin(t)} \vektor{-sin(t) \\ cos(t)\\ \bruch{cos(\bruch{t}{2})-sin(\bruch{t}{2})}{\wurzel{2}}} dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2\pi} [-sin(t)(2sin(t)+sin^2(t)+3+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2}))[/mm]
> + [mm]cos(t)(2+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2})+cos^2(t))[/mm] +
> [mm](1+2sin(t))(\bruch{cos(\bruch{t}{2})-sin(\bruch{t}{2})}{\wurzel{2}}[/mm]
> )] dt
>
> Kann das soweit überhaupt stimmen? Kann doch nicht sein,
> dass ich das bei der f) integrieren soll...
Ich dachte mittels der d) und e) wird das Integral viel einfacher, denn es bleibt nur [mm]\integral_C y dx[/mm] übrig.
Außerdem fallen bei deinem Integral viele Terme weg, zum Beispiel alle mit ungeraden Potenzen der Sinusfunktion (weil sie periodisch und ungerade ist).
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 So 13.01.2008 | | Autor: | Marty |
Hallo Rainer!
Vielen Dank für deine Hilfe!
> Hallo!
>
> > Wir möchten die Zirkulation [mm]I:=\integral_{0}^{2\pi}{V(C(t)) \bruch{dC}{dt}(t) dt}[/mm]
> > des Vektorfelds
> > V(x,y,z):= [mm]\vektor{y^2+z^2 \\ z^2+x^2 \\ x^2+y^2}[/mm] entlang
> > der Kurve C berechnen. Diese ist gegeben durch:
> > x(t) = cos(t) , y(t)= 1 + sin(t) , z(t) =
> > [mm]\wurzel{2}(sin(\bruch{t}{2})[/mm] + [mm]cos(\bruch{t}{2}))[/mm] ,
> > für t [mm]\in [0,2\pi].[/mm]
> > Man kann zeigen, dass der Satz
> von
> > Stokes für C wahr ist.
> > a) Zeigen Sie, dass C eine Teilmenge der Kugel B(
> (0,2,0)
> > , 2 ) ist.
> > b) Schreiben Sie das Integral, gegeben durch die
> > Zirkulation von V entlang C.
> > c) Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Stokes, dass
> > [mm]\integral_{C}{x^2dx+y^2dy+z^2dz}=0[/mm]
> > d) Leiten Sie her, dass I = 4
> [mm]\integral_{C}{y(dx+dy+dz)}[/mm]
> > e) Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Stokes, dass
> > [mm]\integral_{C}{y dy}[/mm] = 0 und dass [mm]\integral_{C}^{}{y dz}[/mm] = 0
> > (Tipp: [mm]z^2[/mm] = 2y)
> > f) Leiten Sie den Wert von I her.
> > Hallo Leute,
> > ich weiß, die Aufgabe ist ziemlich lang, aber
> vielleicht
> > kann mir trotzdem jemand einen Tipp zu der ein oder anderen
> > Teilaufgabe geben...
>
> Zunächst: hast du Teil a) ausgerechnet? Dann hast du doch
> die Gleichung
>
> [mm]x^2 + (y-2)^2 +z^2 = 4 [/mm].
>
> Damit kannst du V(C(t)) deutlich vereinfachen.
Nein, die a) habe ich noch nicht. Wie kann ich das denn berechnen?
> > zur b):
> > V(C(t)) = [mm]\vektor{(1+sin(t)^2 + [\wurzel{2}(sin(\bruch{t}{2})+cos(\bruch{t}{2})]^2 \\ [\wurzel{2}(sin(\bruch{t}{2})+cos(\bruch{t}{2})]^2 + cos^2(t) \\ cos^2(t)+(1+sin(t))^2}[/mm]
> > =
> >
> [mm]\vektor{2sin(t)+sin^2(t)+3+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2}) \\ 2+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2})+cos^2(t) \\ 1+2sin(t)}[/mm]
>
> Als Erstes setze mal [mm]2\sin(t/2)\cos(t/2) = \sin t[/mm] ein, dann
> werden deine Ausdrücke sehr viel einfacher.
V(C(t))= [mm] \vektor{4sin(t)+sin^2(t)+3\\ 2+2sin(t)+cos^2(t) \\ 1+2sin(t)}
[/mm]
dann bekomme ich ganz unten: [mm] \integral_{0}^{2\pi} [-sin(t)(4sin(t)+sin^2(t)+3)+ cos(t)(2+2sin(t)+cos^2(t)) [/mm] + [mm] (1+2sin(t))(\bruch{cos(\bruch{t}{2})-sin(\bruch{t}{2})}{\wurzel{2}}]dt
[/mm]
und hier kann ich alle ungeraden Potenzen von Sinus einfach weglassen?
[mm] \Rightarrow [/mm] = [mm] -4sin^2(t)+2cos(t)+cos^3(t)+1+\bruch{cos(\bruch{t}{2})}{\wurzel{2}}
[/mm]
> > und:
> >
> > C= [mm]\vektor{cos(t) \\ 1+sin(t) \\ \wurzel{2}(sin(\bruch{t}{2})+cos(\bruch{t}{2})}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow \bruch{dC}{dt}(t)[/mm] = [mm]\vektor{-sin(t) \\ cos(t)\\ \bruch{cos(\bruch{t}{2})-sin(\bruch{t}{2})}{\wurzel{2}}}[/mm]
>
> >
> > also:
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{V(C(t)) \bruch{dC}{dt}(t) dt}[/mm] =
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ \vektor{2sin(t)+sin^2(t)+3+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2}) \\ 2+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2})+cos^2(t) \\ 1+2sin(t)} \vektor{-sin(t) \\ cos(t)\\ \bruch{cos(\bruch{t}{2})-sin(\bruch{t}{2})}{\wurzel{2}}} dt}[/mm]
> > = [mm]\integral_{0}^{2\pi} [-sin(t)(2sin(t)+sin^2(t)+3+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2}))[/mm]
> > + [mm]cos(t)(2+4sin(\bruch{t}{2})cos(\bruch{t}{2})+cos^2(t))[/mm] +
> >
> [mm](1+2sin(t))(\bruch{cos(\bruch{t}{2})-sin(\bruch{t}{2})}{\wurzel{2}}[/mm]
> > )] dt
> >
> > Kann das soweit überhaupt stimmen? Kann doch nicht sein,
> > dass ich das bei der f) integrieren soll...
>
> Ich dachte mittels der d) und e) wird das Integral viel
> einfacher, denn es bleibt nur [mm]\integral_C y dx[/mm] übrig.
zur d) habe ich leider auch noch keinen Ansatz, aber sind denn c) und e) bei mir richtig?
EDIT:
habe deine 2. Antwort gerade erst entdeckt :)
zur e): 1/2 [mm] \integral_{C}^{}{z^2 dz} [/mm] = 1/2 [mm] \integral_{C}^{}{2z dz \wedge dz} [/mm] = 0
> Außerdem fallen bei deinem Integral viele Terme weg, zum
> Beispiel alle mit ungeraden Potenzen der Sinusfunktion
> (weil sie periodisch und ungerade ist).
>
> Viele Grüße
> Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mo 14.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Zunächst: hast du Teil a) ausgerechnet? Dann hast du doch
> > die Gleichung
> >
> > [mm]x^2 + (y-2)^2 +z^2 = 4 [/mm].
> >
> > Damit kannst du V(C(t)) deutlich vereinfachen.
>
>
> Nein, die a) habe ich noch nicht. Wie kann ich das denn
> berechnen?
Was ist denn die Gleichung einer Kugel vom Radius 2 und Mittelpunkt (0,2,0)? Doch [mm]x^2 + (y-2)^2 +z^2 = 4 [/mm].
Also setzt du C(t) einfach ein.
> > Als Erstes setze mal [mm]2\sin(t/2)\cos(t/2) = \sin t[/mm] ein, dann
> > werden deine Ausdrücke sehr viel einfacher.
>
>
> V(C(t))= [mm]\vektor{4sin(t)+sin^2(t)+3\\ 2+2sin(t)+cos^2(t) \\ 1+2sin(t)}[/mm]
>
> dann bekomme ich ganz unten: [mm]\integral_{0}^{2\pi} [-sin(t)(4sin(t)+sin^2(t)+3)+ cos(t)(2+2sin(t)+cos^2(t))[/mm]
> +
> [mm](1+2sin(t))(\bruch{cos(\bruch{t}{2})-sin(\bruch{t}{2})}{\wurzel{2}}]dt[/mm]
> und hier kann ich alle ungeraden Potenzen von Sinus
> einfach weglassen?
Alle Terme, die nur ungerade Potenzen von [mm]\sin(t)[/mm] oder [mm]\cos(t)[/mm] enthalten. Begründung: Durch die Substitution [mm]t\mapsto 2\pi-t[/mm] wechselt [mm]\sin(t)[/mm] das Vorzeichen. Folglich ist
[mm] \integral_0^{2\pi} \sin^k(t) \cos^m(t)\,dt = (-1)^k \integral_0^{2\pi} \sin^k(t) \cos^m(t)\,dt [/mm]
und daher 0 für ungerade k. Analog folgt mit der Substitution [mm]t\mapsto \pi-t[/mm], dass das Integral für ungerade m 0 ist.
Für Terme mit [mm]\sin(t/2)[/mm] und [mm]\cos(t/2)[/mm] kannst du es so einfach nicht folgern, du müsstest alle Winkelfunktionen durch [mm]\sin(t/2)[/mm] und [mm]\cos(t/2)[/mm] ausdrücken und die gleiche Überlegung durchführen.
Viele Grüße
Rainer
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