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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Do 03.03.2005 | | Autor: | Kendra |
Bestimmen Sie den Winkel, den die Vektoren [mm] \vektor [/mm] a {5 [mm] \\ [/mm] 1} und [mm] \vektor [/mm] b {2 [mm] \\ [/mm] 6} einschließen.
Habe leider überhaupt keinen Plan, wie das gehen soll...
Würde mich über jede Hilfe freuen 
lg
Kendra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Do 03.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kendra!
> Bestimmen Sie den Winkel, den die Vektoren $ [mm] \vektor [/mm] $ a {5 [mm] \\ [/mm] 1}
> und $ [mm] \vektor [/mm] $ b {2 [mm] \\ [/mm] 6} einschließen.
Du meinst:
[mm] $\vec{a}=\vektor{5\\1}$, $\vec{b}=\vektor{2\\6}$.
[/mm]
> Habe leider überhaupt keinen Plan, wie das gehen soll...
Sagt dir der Begriff des ![[]](/images/popup.gif) Skalarproduktes etwas?
Sind [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2}$, $\vec{y}=\vektor{y_1\\y_2}$ [/mm] Vektoren des [m]\IR^2[/m] und bezeichnen wir mit [mm] $\*$ [/mm] das Skalarprodukt, so gilt:
(1) [mm] $\vec{x}\*\vec{y}=\vektor{x_1\\x_2}\*\vektor{y_1\\y_2}=x_1*y_1+x_2*y_2$.
[/mm]
Für den Betrag eines Vektors [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2}$ [/mm] des [mm] $\IR^2$ [/mm] gilt nach Pythagoras:
(2) [mm] $|\vec{x}|=\left|\vektor{x_1\\x_2}\right|=\wurzel{x_1^{\,2}+x_2^{\,2}}$.
[/mm]
Für den Winkel [mm] $\phi$ [/mm] zwischen den Vektoren [mm] $\vec{x}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}$ [/mm] gilt folgende Formel:
[mm] $\vec{x}\*\vec{y}=|\vec{x}|*|\vec{y}|*\cos(\phi)$
[/mm]
Mit diesen Hinweisen sollte es dir eigentlich gelingen, deine Aufgabe zu lösen (bei dir gilt halt:
[m]\vektor{5\\1}\*\vektor{2\\6}=\left|\vektor{5\\1}\right|*\left|\vektor{2\\6}\right|*\cos(\alpha)[/m], wenn wir mit [mm] $\alpha$ [/mm] den Winkel zwischen [m]\vektor{5\\1}[/m] und [m]\vektor{2\\6}[/m] bezeichnen.
[m]\vektor{5\\1}\*\vektor{2\\6}[/m] rechnest du dann mithilfe von (1) aus, und [m]\left|\vektor{5\\1}\right|[/m] bzw. [m]\left|\vektor{2\\6}\right|[/m] berechnest du mithilfe von (2).)
Falls dir der Begriff des Skalarproduktes (noch) nichts sagt, so beachte:
Den Winkel [mm] $\beta$, [/mm] den ein Vektor [m]\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2}[/m] im kartesischen Koordinatensystem mit der $x$-Achse (genauer: [m]\beta[/m] wird von der "positiven $x$-Achse" aus gemessen) einschließt, erhält man über die Formel:
[m]\tan(\beta)=\frac{x_2}{x_1}[/m] (sofern [mm] $x_1\not=0$).
[/mm]
Mit diesem Hinweis solltest du dann auch zum Ziel gelangen, wenn du für die Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] mal ausrechnest, welchen Winkel sie (jeweils) mit der $x$-Achse einschließen (zeichne dir vielleicht auch mal die Punkte $A(5;1)$ und $B(2;6)$ in das Koordinatensystem ein).
Natürlich gibt es auch noch andere Wege, wie man zum Ziel gelangen kann...
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 03.03.2005 | | Autor: | fidelio |
hallo kendra,
du wirst dir auch noch zusätzlich leichter machen wenn du die beiden vektoren in ein koordinatensystem einträgst und dann den winkel mit dem rechnerisch ermittelten vergleichst!
poste doch einfach dein ergebnis!
lg
fidelio
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Hallo, zusammen
ich möchte daran erinnern, daß es in der Ebene einfacher
(weniger Rechenaufwand) ist, mit dem Tangens der Winkel zu
rechnen,
nach der Formel [mm] $\tan [/mm] (y-x) = [mm] \frac{\tan y - \tan x}{1 + \tan y * \tan x}$
[/mm]
hier
also tany = 6/2 = 3, tanx = 1/5 = 0.2, tan(y-x) = 2.8/(1+0.6) = 2.8/1.6 = 7/4
der
gesuchte Winkel ist also arctan(7/4)
Gruß F.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Kendra |
Vielen Dank erstmal für eure Vorschläge, Erklärungen und Anregungen
Ich habe die Aufgabe rechnerisch gelöst, mir aber auch ein Koordinatensystem aufgezeichnet und die Vektoren dort eingezeichnet.
Im Endeffekt bin ich zu dem Ergebnis gekommen, dass die beiden Vektoren einen Winkel von 60,26° einschließen.
lg
Kendra
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