Vektorenräume 4 Elemente < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 So 18.12.2011 | | Autor: | Thordar |
| Aufgabe | | Geben Sie möglichst viele (nicht zueinander isomorphe) Vektorräume mit genau 4 Elementen an (d.h. , , Skalarmultiplikation). |
Moin,
zu o.g. Aufgabenstellung hab ich mir momentan den F2 Körper mit der Addition und Skalarmultiplikation überlegt, mit den 4 Elementen : (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)..
Mir sind keine anderen Möglichkeiten bekannt, welcher Vektorenraum ebenfalls nur 4 Elemente haben kann.. wenn es einen gibt, so ist dies doch im Grunde nur eine Umbenennung?
Eine weitere Überlegung meinerseits war noch, das man eine komplexe Zahl sozusagen auch so untersuchen könnte, ob der Realteil oder der Imaginärteil "wahr ist", sprich, die Vektoren: (0,0) (0,i) (1,0) (1,1)..
Ich bin mir aber wirklich nicht sicher, ob so etwas auch als Vektorenraum gelten kann, und ob die Aufgabe in diese Richtung gemeint war.
Zusätzlich wüsste ich gerne, ob es Vektoren mit nur eindimensionalen Werten geben kann, dann hätte ich nämlich noch V = (Z/4, +, * ) mit den Elementen (0) (1) (2) (3)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Geben Sie möglichst viele (nicht zueinander
> isomorphe) Vektorräume mit genau 4 Elementen an (d.h.
> , , Skalarmultiplikation).
> Moin,
>
> zu o.g. Aufgabenstellung hab ich mir momentan den F2
> Körper mit der Addition und Skalarmultiplikation
> überlegt, mit den 4 Elementen : (0,0) (0,1) (1,0) (1,1).
Das ist soweit richtig.
> Mir sind keine anderen Möglichkeiten bekannt, welcher
> Vektorenraum ebenfalls nur 4 Elemente haben kann..
Wichtig ist, dass du die Null immer mit dabei hast. Ansonsten hast du freie Wahl.
> wenn es
> einen gibt, so ist dies doch im Grunde nur eine
> Umbenennung?
Was meinst du mit "Umbenennung"?
>
> Eine weitere Überlegung meinerseits war noch, das man eine
> komplexe Zahl sozusagen auch so untersuchen könnte, ob der
> Realteil oder der Imaginärteil "wahr ist", sprich, die
> Vektoren: (0,0) (0,i) (1,0) (1,1)..
(1,1) ist nicht in den komplexen Zahlen, sondern aus dem [mm]\IR^2[/mm]. Du meintest sicherlich (1,i). Außerdem ist der [mm]\IR^2[/mm] isomorph zu komplexen Zahlen.
> Ich bin mir aber wirklich nicht sicher, ob so etwas auch
> als Vektorenraum gelten kann, und ob die Aufgabe in diese
> Richtung gemeint war.
(0,0) (0,i) (1,0) (1,i) ist ein Vektorrraum. Hast du dich schon mal mit den Axiomen vertraut gemacht?
> Zusätzlich wüsste ich gerne, ob es Vektoren mit nur
> eindimensionalen Werten geben kann, dann hätte ich
> nämlich noch V = (Z/4, +, * ) mit den Elementen (0) (1)
> (2) (3)
Ja das geht. Ist aber trivial. Außerdem ist [mm]\IZ/4\IZ[/mm] kein Vektoraum, sondern ein kommutativer Ring.
Hier Noch ein Tipp.: Die rationalen Zahlen können einen Vektorraum bilden.
Ich hoffe ich konnte helfen 
Gruß
Christoph
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:09 So 18.12.2011 | | Autor: | Thordar |
> Hallo,
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> > Geben Sie möglichst viele (nicht zueinander
> > isomorphe) Vektorräume mit genau 4 Elementen an (d.h.
> > , , Skalarmultiplikation).
> > Moin,
> >
> > zu o.g. Aufgabenstellung hab ich mir momentan den F2
> > Körper mit der Addition und Skalarmultiplikation
> > überlegt, mit den 4 Elementen : (0,0) (0,1) (1,0) (1,1).
>
> Das ist soweit richtig.
>
> > Mir sind keine anderen Möglichkeiten bekannt, welcher
> > Vektorenraum ebenfalls nur 4 Elemente haben kann..
>
> Wichtig ist, dass du die Null immer mit dabei hast.
> Ansonsten hast du freie Wahl.
>
> > wenn es
> > einen gibt, so ist dies doch im Grunde nur eine
> > Umbenennung?
>
> Was meinst du mit "Umbenennung"?
Eine "Umbenennung" ist im Grunde ja ein Isomorphismus, weil wenn ich z.b. die {0,5} als Elemente nehmen würde, hätte ich ja wieder nur (0,0) (0,5) (5,0) (5,5), und das wäre ja eine Umbenennung des Körpers F2, oder nicht?
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> > Eine weitere Überlegung meinerseits war noch, das man eine
> > komplexe Zahl sozusagen auch so untersuchen könnte, ob der
> > Realteil oder der Imaginärteil "wahr ist", sprich, die
> > Vektoren: (0,0) (0,i) (1,0) (1,1)..
>
> (1,1) ist nicht in den komplexen Zahlen, sondern aus dem
> [mm]\IR^2[/mm]. Du meintest sicherlich (1,i). Außerdem ist der
> [mm]\IR^2[/mm] isomorph zu komplexen Zahlen.
ja, natürlich meinte ich (1,i). Mein Fehler :).
>
> > Ich bin mir aber wirklich nicht sicher, ob so etwas auch
> > als Vektorenraum gelten kann, und ob die Aufgabe in diese
> > Richtung gemeint war.
>
> (0,0) (0,i) (1,0) (1,i) ist ein Vektorrraum. Hast du dich
> schon mal mit den Axiomen vertraut gemacht?
Grundsätzlich ja, hab aber sehr starke Schwierigkeiten mit der Abstraktivität.. bin noch dabei, mich reinzuarbeiten, läuft nur sehr schleppend. Hatte die Vermutung, das es ein Vektorenraum ist, aber sicher war ich mir nicht.
>
> > Zusätzlich wüsste ich gerne, ob es Vektoren mit nur
> > eindimensionalen Werten geben kann, dann hätte ich
> > nämlich noch V = (Z/4, +, * ) mit den Elementen (0) (1)
> > (2) (3)
>
> Ja das geht. Ist aber trivial. Außerdem ist [mm]\IZ/4\IZ[/mm] kein
> Vektoraum, sondern ein kommutativer Ring.
>
> Hier Noch ein Tipp.: Die rationalen Zahlen können einen
> Vektorraum bilden.
das wäre ja der Vektorraum, zu dem ich oben schon mit den komplexen Zahlen isomorph gebildet habe? also nicht die Elemente {0,1} aus F2 genommen, sondern aus [mm] \IR?
[/mm]
Das wär aber doch trotzdem isomorph, weil man ja die 0 aus F2 auf die 0 aus R abbilden könnte? analog zur 1.
Was den unschönen aspekt hat, das ich wiederum nur bei einem VR bin. :/
>
> Ich hoffe ich konnte helfen
>
> Gruß
> Christoph
Hat einige Sachen klarer gemacht, danke schonmal :).
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> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 20.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Geben Sie möglichst viele (nicht zueinander
> isomorphe) Vektorräume mit genau 4 Elementen an (d.h.
> , , Skalarmultiplikation).
> Moin,
>
> zu o.g. Aufgabenstellung hab ich mir momentan den F2
> Körper mit der Addition und Skalarmultiplikation
> überlegt, mit den 4 Elementen : (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)..
>
> Mir sind keine anderen Möglichkeiten bekannt, welcher
> Vektorenraum ebenfalls nur 4 Elemente haben kann.. wenn es
> einen gibt, so ist dies doch im Grunde nur eine
> Umbenennung?
Stimmt. Alle vierelementigen Vektorräume über [mm] F_2 [/mm] als Grundkörper sind zueinander isomorph.
>
> Eine weitere Überlegung meinerseits war noch, das man eine
> komplexe Zahl sozusagen auch so untersuchen könnte, ob der
> Realteil oder der Imaginärteil "wahr ist", sprich, die
> Vektoren: (0,0) (0,i) (1,0) (1,1)..
> Ich bin mir aber wirklich nicht sicher, ob so etwas auch
> als Vektorenraum gelten kann, und ob die Aufgabe in diese
> Richtung gemeint war.
>
> Zusätzlich wüsste ich gerne, ob es Vektoren mit nur
> eindimensionalen Werten geben kann, dann hätte ich
> nämlich noch V = (Z/4, +, * ) mit den Elementen (0) (1)
> (2) (3)
So funktioniert es nicht, da Z/4 kein Körper ist.
Es gibt allerdings einen Körper [mm] F_4 [/mm] mit 4 Elementen (siehe z.B. [mm] http://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_Körper).
[/mm]
Und dieser bildet einen eindimensionalen Vektorraum mit sich selbst als Skalarkörper, sodass es noch einen nicht zu [mm] F_2^2 [/mm] isomorphen vierelementigen Vektorraum gibt.
Wenn ich nichts übersehen habe, dürfte es außer diesen beiden keine weiteren geben.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 So 18.12.2011 | | Autor: | Thordar |
> > Geben Sie möglichst viele (nicht zueinander
> > isomorphe) Vektorräume mit genau 4 Elementen an (d.h.
> > , , Skalarmultiplikation).
> > Moin,
> >
> > zu o.g. Aufgabenstellung hab ich mir momentan den F2
> > Körper mit der Addition und Skalarmultiplikation
> > überlegt, mit den 4 Elementen : (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)..
> >
> > Mir sind keine anderen Möglichkeiten bekannt, welcher
> > Vektorenraum ebenfalls nur 4 Elemente haben kann.. wenn es
> > einen gibt, so ist dies doch im Grunde nur eine
> > Umbenennung?
>
> Stimmt. Alle vierelementigen Vektorräume über [mm]F_2[/mm] als
> Grundkörper sind zueinander isomorph.
>
> >
> > Eine weitere Überlegung meinerseits war noch, das man eine
> > komplexe Zahl sozusagen auch so untersuchen könnte, ob der
> > Realteil oder der Imaginärteil "wahr ist", sprich, die
> > Vektoren: (0,0) (0,i) (1,0) (1,1)..
> > Ich bin mir aber wirklich nicht sicher, ob so etwas
> auch
> > als Vektorenraum gelten kann, und ob die Aufgabe in diese
> > Richtung gemeint war.
> >
> > Zusätzlich wüsste ich gerne, ob es Vektoren mit nur
> > eindimensionalen Werten geben kann, dann hätte ich
> > nämlich noch V = (Z/4, +, * ) mit den Elementen (0) (1)
> > (2) (3)
>
> So funktioniert es nicht, da Z/4 kein Körper ist.
> Es gibt allerdings einen Körper [mm]F_4[/mm] mit 4 Elementen
> (siehe z.B.
> [mm]http://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_Körper).[/mm]
> Und dieser bildet einen eindimensionalen Vektorraum mit
> sich selbst als Skalarkörper, sodass es noch einen nicht
> zu [mm]F_2^2[/mm] isomorphen vierelementigen Vektorraum gibt.
> Wenn ich nichts übersehen habe, dürfte es außer diesen
> beiden keine weiteren geben.
Das leuchtet ein.. Da hockt man mehr oder weniger die ganze Zeit auf der richtigen Lösung, hat nur die falschen Konstrukte gewählt. Danke :)
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> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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