Vektoren und Pyramide < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Do 17.11.2011 | | Autor: | Matritze |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(-1|3|5), B(2|5|5), C(4|3|2), D(10|-6|12).
Zeigen Sie, dass die Punkte A bis D die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide sind. |
Soll man jetzt einfach zeigen, dass die bestimmte Vektoren schneiden und dadurch eine eine Pyramide entsteht? Also, dass sich z.B. 3 Vektoren sich in Punkt "D" schneiden?
Das wäre doch ziemlich einfach zu machen.
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Hallo Matritze,
die vier Punkte im Raum sind nur dann nicht die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide, wenn
- alle vier in einer Ebene liegen, oder
- drei von ihnen auf einer Geraden liegen.
Dabei kannst Du den zweiten Fall insofern vernachlässigen, als er automatisch auf den ersten Fall führen würde: wenn drei der Punkte auf einer Geraden liegen, ist es egal, ob der vierte nun auch noch darauf liegt oder nicht - in jedem Fall liegen dann alle vier Punkte in einer Ebene (oder sogar unendlich vielen).
Wie kannst Du das nun am einfachsten überprüfen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 17.11.2011 | | Autor: | Matritze |
Hallo Reverend,
also wir hatten noch keine Ebenengleichung, daher weiß ich nicht, wie man aus 3 Punkten eine Gleichung bildet.
Aber könnte ich nicht eine Gleichung aus 2 Punkten bilden und dann die zwei anderen Punkte überprüfen, ob sie auf der Gerade liegen?
Gruß,
Matritze
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Hallo Matritze,
> Hallo Reverend,
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> also wir hatten noch keine Ebenengleichung, daher weiß ich
> nicht, wie man aus 3 Punkten eine Gleichung bildet.
>
> Aber könnte ich nicht eine Gleichung aus 2 Punkten bilden
> und dann die zwei anderen Punkte überprüfen, ob sie auf
> der Gerade liegen?
>
Sicher kannst Du das.
Dann musst Du aber alle möglichen Geraden bilden und
prüfen ob die jeweils anderen 2 Punkte nicht auf dieser
Geraden liegen.
> Gruß,
> Matritze
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Do 17.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
ohne Ebenengleichungen ist es schon ein bisschen mühsam...
> > also wir hatten noch keine Ebenengleichung, daher weiß ich
> > nicht, wie man aus 3 Punkten eine Gleichung bildet.
> >
> > Aber könnte ich nicht eine Gleichung aus 2 Punkten bilden
> > und dann die zwei anderen Punkte überprüfen, ob sie auf
> > der Gerade liegen?
>
> Sicher kannst Du das.
>
> Dann musst Du aber alle möglichen Geraden bilden und
> prüfen ob die jeweils anderen 2 Punkte nicht auf dieser
> Geraden liegen.
...und außerdem dürfen die vier Punkte eben nicht in einer Ebene liegen. Darum kommt man nicht herum.
Beispiel: die vier Punkte [mm] \vektor{0\\0\\0},\ \vektor{1\\0\\ \blue{0}},\ \vektor{0\\1\\0},\ \vektor{1\\1\\0} [/mm] liegen so, dass keine drei auf der gleichen Geraden liegen.
Die blaue Null (z-Komponente zweiter Vektor) ist nachträglich editiert.
Lieder liegen aber alle auch in der Ebene z=0 und bilden daher nicht die Ecken einer "echten" dreiseitigen Pyramide. "Echt" heißt hier: eine Pyramide mit einem Volumen >0. Manche würden in diesem Fall - alle vier Punkte in einer Ebene - noch von einer "entarteten" Pyramide sprechen; die ist in der Aufgabenstellung aber sicher nicht als möglich vorausgesetzt.
Nebenbei: hattet Ihr schon Kreuz- und Skalarprodukt?
Dann könntest Du für alle vier möglichen Kombinationen von je drei Vektoren das ![[]](/images/popup.gif) Spatprodukt betrachten, dessen Betrag in allen vier Fällen gleich ist und vor allem [mm] \not=0 [/mm] sein muss.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 17.11.2011 | | Autor: | Matritze |
> Hallo nochmal,
> ...und außerdem dürfen die vier Punkte eben nicht in
> einer Ebene liegen. Darum kommt man nicht herum.
> Beispiel: die vier Punkte [mm]\vektor{0\\0\\0},\ \vektor{1\\0\\1},\ \vektor{0\\1\\0},\ \vektor{1\\1\\0}[/mm]
> liegen so, dass keine drei auf der gleichen Geraden
> liegen.
> Lieder liegen aber alle auch in der Ebene z=0 und bilden
> daher nicht die Ecken einer "echten" dreiseitigen Pyramide.
> "Echt" heißt hier: eine Pyramide mit einem Volumen >0.
> Manche würden in diesem Fall - alle vier Punkte in einer
> Ebene - noch von einer "entarteten" Pyramide sprechen; die
> ist in der Aufgabenstellung aber sicher nicht als möglich
> vorausgesetzt.
Welche Ebene ist die Ebene "z"?
> Nebenbei: hattet Ihr schon Kreuz- und Skalarprodukt?
Jup, hatten wir schon.
Reicht es aus, wenn das Volumen einfach >0 ist, um zu zeigen, dass die Eckpunkte, die Eckpunkte der Pyramide ist?
Gruß,
Matritze
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Hallo Matritze,
> > Hallo nochmal,
>
> > ...und außerdem dürfen die vier Punkte eben nicht in
> > einer Ebene liegen. Darum kommt man nicht herum.
> > Beispiel: die vier Punkte [mm]\vektor{0\\0\\0},\ \vektor{1\\0\\1},\ \vektor{0\\1\\0},\ \vektor{1\\1\\0}[/mm]
> > liegen so, dass keine drei auf der gleichen Geraden
> > liegen.
> > Lieder liegen aber alle auch in der Ebene z=0 und
> bilden
> > daher nicht die Ecken einer "echten" dreiseitigen Pyramide.
> > "Echt" heißt hier: eine Pyramide mit einem Volumen >0.
> > Manche würden in diesem Fall - alle vier Punkte in einer
> > Ebene - noch von einer "entarteten" Pyramide sprechen; die
> > ist in der Aufgabenstellung aber sicher nicht als möglich
> > vorausgesetzt.
>
> Welche Ebene ist die Ebene "z"?
>
Hier meinst Du die Ebene z=0.
Das ist die Ebene, die Punkte der Form [mm]\pmat{x \\ y \\ 0}, \ x,y \in \IR[/mm] enthält.
> > Nebenbei: hattet Ihr schon Kreuz- und Skalarprodukt?
>
> Jup, hatten wir schon.
>
> Reicht es aus, wenn das Volumen einfach >0 ist, um zu
> zeigen, dass die Eckpunkte, die Eckpunkte der Pyramide ist?
>
Ja.
> Gruß,
> Matritze
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Do 17.11.2011 | | Autor: | Matritze |
Hallo,
in dem Beispiel von reverend lagen ja drei der vier Punkte in der Ebene z=0.
Warum ist das dann entartet? Der 2.Punkte der 4 Punkte liegt doch gar nicht in der Ebene z=0, also kann doch trotzdem eine "echte"Pyramide gebildet werden.
Gruß,
Matritze
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Hallo Matritze,
> Hallo,
>
> in dem Beispiel von reverend lagen ja drei der vier Punkte
> in der Ebene z=0.
>
> Warum ist das dann entartet? Der 2.Punkte der 4 Punkte
> liegt doch gar nicht in der Ebene z=0, also kann doch
> trotzdem eine "echte"Pyramide gebildet werden.
>
Das ist richtig.
> Gruß,
> Matritze
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Do 17.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo,
gut aufgepasst! Da ist mir ein wesentlicher und sinnentstellender Tippfehler unterlaufen.
Natürlich sollten alle vier Punkte die z-Komponente 0 haben. Dann ist es etwas aufwendiger zu ermitteln, dass alle in einer Ebene liegen. Natürlich nicht, wenn die Ebene so einfach gestrickt ist. Aber wenn die Ebene x-4y+3z heißt, sieht das nicht mehr so einfach aus. Die folgenden 4 Punkte liegen darin, und keine drei auf einer Geraden:
[mm] \vektor{0\\3\\4},\ \vektor{3\\6\\7},\ \vektor{-1\\5\\7},\ \vektor{2\\14\\18}
[/mm]
Grüße
reverend
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