Vektoren und Basen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier mal eine eigentlich blöde Frage, ich hoffe, mir wird nicht wieder eine Bildungslücke vorgeworfen... 
Gegeben sind 5 Vektoren im [mm] \IR^5 [/mm] und man soll eine Basis von [mm] V=span(v_1,...,v_5) [/mm] angeben.
Nun bin ich aber irgendwie nicht in der Lage überhaupt rauszufinden, was denn [mm] span(v_1,...,v_5) [/mm] überhaupt ist. Das ist die Menge aller Linearkombinationen dieser 5 Vektoren, das ist klar. Und wenn die 5 Vektoren linear unabhängig sind, dann sind sie direkt eine Basis von [mm] \IR^5. [/mm] Nun habe ich aber mal überlegt, was sie denn sonst noch erzeugen könnten, außer den [mm] \IR^5. [/mm] Können sie den [mm] \IR^4 [/mm] erzeugen? Eigentlich doch schon, oder? Aber wie müssten die Vektoren dann aussehen? Müsste da bei allen Vektoren z. B. die letzte Komponente =0 sein?
Dann könnten sie ja auch noch einen Unterraum des [mm] \IR^5 [/mm] erzeugen, der nur Vektoren enthält, bei dem die erste Komponente immer =5 ist, oder? Im Moment bin ich mir da gar nicht mehr so sicher... Oder würde dann der Nullvektor fehlen?
Also, jedenfalls habe ich festgestellt, dass die 5 Vektoren linear abhängig sind (sonst wäre die Aufgabenstellung ja auch zu einfach gewesen...). Aber wie finde ich jetzt heraus, was sie wirklich erzeugen?
Oder gibt es noch eine andere Möglichkeit, eine gesuchte Basis anzugeben?
Also, eigentlich komme ich ja mit Basen und so ganz gut zurecht, und wenn das hier nur drei Vektoren wären, dann würde ich sicher auch erstmal was rumrechnen. Aber bei so vielen hätte ich dann doch schon mal gerne einen Tipp.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hallo Bastiane,
> Hallo!
> Hier mal eine eigentlich blöde Frage, ich hoffe, mir wird
> nicht wieder eine Bildungslücke vorgeworfen...
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> Gegeben sind 5 Vektoren im [mm]\IR^5[/mm] und man soll eine Basis
> von [mm]V=span(v_1,...,v_5)[/mm] angeben.
>
> Nun bin ich aber irgendwie nicht in der Lage überhaupt
> rauszufinden, was denn [mm]span(v_1,...,v_5)[/mm] überhaupt ist. Das
> ist die Menge aller Linearkombinationen dieser 5 Vektoren,
> das ist klar. Und wenn die 5 Vektoren linear unabhängig
> sind, dann sind sie direkt eine Basis von [mm]\IR^5.[/mm] Nun habe
> ich aber mal überlegt, was sie denn sonst noch erzeugen
> könnten, außer den [mm]\IR^5.[/mm] Können sie den [mm]\IR^4[/mm] erzeugen?
> Eigentlich doch schon, oder? Aber wie müssten die Vektoren
> dann aussehen? Müsste da bei allen Vektoren z. B. die
> letzte Komponente =0 sein?
> Dann könnten sie ja auch noch einen Unterraum des [mm]\IR^5[/mm]
> erzeugen, der nur Vektoren enthält, bei dem die erste
> Komponente immer =5 ist, oder? Im Moment bin ich mir da gar
> nicht mehr so sicher... Oder würde dann der Nullvektor
> fehlen?
>
> Also, jedenfalls habe ich festgestellt, dass die 5 Vektoren
> linear abhängig sind (sonst wäre die Aufgabenstellung ja
> auch zu einfach gewesen...). Aber wie finde ich jetzt
> heraus, was sie wirklich erzeugen?
>
> Oder gibt es noch eine andere Möglichkeit, eine gesuchte
> Basis anzugeben?
>
> Also, eigentlich komme ich ja mit Basen und so ganz gut
> zurecht, und wenn das hier nur drei Vektoren wären, dann
> würde ich sicher auch erstmal was rumrechnen. Aber bei so
> vielen hätte ich dann doch schon mal gerne einen Tipp.
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
Trage die 5 Vektoren in eine Matrix ein, und bringe diese auf Stufenform. Die Anzahl der Pivots ist die Dimension des aufgespannten Raumes. Die Spalten in denen die Pivots sitzen, beherbergen eine Basis dieses Raums. Gehe dazu zur ursprüunglichen Matrix zurück.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Holy Diver!
> > Gegeben sind 5 Vektoren im [mm]\IR^5[/mm] und man soll eine Basis
> > von [mm]V=span(v_1,...,v_5)[/mm] angeben.
> >
> > Nun bin ich aber irgendwie nicht in der Lage überhaupt
> > rauszufinden, was denn [mm]span(v_1,...,v_5)[/mm] überhaupt ist. Das
> > ist die Menge aller Linearkombinationen dieser 5 Vektoren,
> > das ist klar. Und wenn die 5 Vektoren linear unabhängig
> > sind, dann sind sie direkt eine Basis von [mm]\IR^5.[/mm] Nun habe
> > ich aber mal überlegt, was sie denn sonst noch erzeugen
> > könnten, außer den [mm]\IR^5.[/mm] Können sie den [mm]\IR^4[/mm] erzeugen?
> > Eigentlich doch schon, oder? Aber wie müssten die Vektoren
> > dann aussehen? Müsste da bei allen Vektoren z. B. die
> > letzte Komponente =0 sein?
> > Dann könnten sie ja auch noch einen Unterraum des [mm]\IR^5[/mm]
> > erzeugen, der nur Vektoren enthält, bei dem die erste
> > Komponente immer =5 ist, oder? Im Moment bin ich mir da gar
> > nicht mehr so sicher... Oder würde dann der Nullvektor
> > fehlen?
> >
> > Also, jedenfalls habe ich festgestellt, dass die 5 Vektoren
> > linear abhängig sind (sonst wäre die Aufgabenstellung ja
> > auch zu einfach gewesen...). Aber wie finde ich jetzt
> > heraus, was sie wirklich erzeugen?
> >
> > Oder gibt es noch eine andere Möglichkeit, eine gesuchte
> > Basis anzugeben?
> >
> > Also, eigentlich komme ich ja mit Basen und so ganz gut
> > zurecht, und wenn das hier nur drei Vektoren wären, dann
> > würde ich sicher auch erstmal was rumrechnen. Aber bei so
> > vielen hätte ich dann doch schon mal gerne einen Tipp.
> >
> > Viele Grüße
> > Bastiane
> >
>
> Trage die 5 Vektoren in eine Matrix ein, und bringe diese
> auf Stufenform. Die Anzahl der Pivots ist die Dimension des
> aufgespannten Raumes. Die Spalten in denen die Pivots
> sitzen, beherbergen eine Basis dieses Raums. Gehe dazu zur
> ursprüunglichen Matrix zurück.
Also, das Wort "Pivot" habe ich das erste Mal in Prama gehört, da muss ich mich wohl wirklich beim meinem LA Prof beschweren, denn immerhin ist es in diesem LA-Buch hier erklärt...
Also, ich bekomme jetzt folgende Matrix raus (ob ich mich bis dahin verrechnet habe, ist ja nicht ganz so wichtig):
[mm] \pmat{1&1&3&1&-2\\0&1&2&-1&-2\\0&0&0&3&0\\0&0&0&7&0\\0&0&0&0&0}
[/mm]
Wie viele Pivots sind das dann? 3 oder 4? 3 oder? Also hätte ich einen Raum der Dimension 3. Allerdings weiß ich dann immer noch nicht, was das für ein Raum ist. Kann man das nicht herausfinden?
Den letzten Satz deiner Aussage verstehe ich nicht.
Auch schade, dass ich mir so viel Mühe mit dieser Frage gegeben habe, und leider keine Antworten auf die vielen kleinen Zwischenfragen erhalten habe...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
> > Nun bin ich aber irgendwie nicht in der Lage überhaupt
> > rauszufinden, was denn $ [mm] span(v_1,...,v_5) [/mm] $ überhaupt ist. Das
> > ist die Menge aller Linearkombinationen dieser 5 Vektoren,
> > das ist klar.
span habe ich bis jetzt auch noch nicht gekannt, das müsste halt das lineare Erzeugnis dieser Vektoren sein.
> > Nun habe
> > ich aber mal überlegt, was sie denn sonst noch erzeugen
> > könnten, außer den $ [mm] \IR^5. [/mm] $ Können sie den $ [mm] \IR^4 [/mm] $ erzeugen?
Die könnten erst ein Mal alles zwischen dem Nullraum und dem [mm] $\IR^5$ [/mm] erzeugen.
> > Aber wie müssten die Vektoren
> > dann aussehen? Müsste da bei allen Vektoren z. B. die
> > letzte Komponente =0 sein?
Stell' Dir doch einmal das Erzeugnis von (1,-1) im [mm] $\IR^2$ [/mm] vor. Das ist ein eindimensionaler Unerraum, aber außer dem Nullvektor haben alle Vektoren darin von 0 verschiedene Komponenten.
> > Dann könnten sie ja auch noch einen Unterraum des $ [mm] \IR^5 [/mm] $
> > erzeugen, der nur Vektoren enthält, bei dem die erste
> > Komponente immer =5 ist, oder? Im Moment bin ich mir da gar
> > nicht mehr so sicher... Oder würde dann der Nullvektor
> > fehlen?
Genau, der Nullvektor muss in jeden (Unter-)Vektoraum mit hinein.
> Wie viele Pivots sind das dann? 3 oder 4? 3 oder? Also hätte ich einen Raum der Dimension 3.
> Allerdings weiß ich dann immer noch nicht, was das für ein Raum ist. Kann man das nicht
> herausfinden?
Es ind 3 Pivots. Sie befinden sich in der 1., der 2., und der 4. Spalte.
> Den letzten Satz deiner Aussage verstehe ich nicht.
Bei näherer Betrachtung ist der auch nicht so wichtig. Ich habe darüber noch einmal nachgedacht, und bin zu dem Schluss gekommen, dass in jeder Matrix, die zwischen der ursprünglichen Matrix und der Stufenmatrix steht, die Pivotspalten eine Basis bilden.
Im konkreten Beispiel. Die Pivots sitzen in der 1., 2. und 4. Spalte. Die gesuchte Basis ist demnach:
[mm] $w_1 [/mm] = (1,0,0,0,0)$ [mm] $w_2 [/mm] = (1,1,0,0,0)$, [mm] $w_3 [/mm] = (1,-1,3,7,0)$
Was ist das jetzt für ein Raum? Naja, das kann ich Dir auch nicht so genau sagen. Es ist halt ein linearer Unterraum der Dimension 3 des [mm] $\IR^5$. [/mm] Was immer das auch sein mag.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Holy Diver!
> > > Aber wie müssten die Vektoren
> > > dann aussehen? Müsste da bei allen Vektoren z. B. die
> > > letzte Komponente =0 sein?
>
> Stell' Dir doch einmal das Erzeugnis von (1,-1) im [mm]\IR^2[/mm]
> vor. Das ist ein eindimensionaler Unerraum, aber außer dem
> Nullvektor haben alle Vektoren darin von 0 verschiedene
> Komponenten.
Danke für das Beispiel. Zwar kann ich mir das im [mm] \IR^5 [/mm] immer noch nicht vorstellen, aber immerhin im [mm] \IR^2. [/mm] 
> > Wie viele Pivots sind das dann? 3 oder 4? 3 oder? Also
> hätte ich einen Raum der Dimension 3.
> > Allerdings weiß ich dann immer noch nicht, was das für
> ein Raum ist. Kann man das nicht
> > herausfinden?
>
> Es ind 3 Pivots. Sie befinden sich in der 1., der 2., und
> der 4. Spalte.
>
> > Den letzten Satz deiner Aussage verstehe ich nicht.
>
> Bei näherer Betrachtung ist der auch nicht so wichtig. Ich
> habe darüber noch einmal nachgedacht, und bin zu dem
> Schluss gekommen, dass in jeder Matrix, die zwischen der
> ursprünglichen Matrix und der Stufenmatrix steht, die
> Pivotspalten eine Basis bilden.
Kann man das irgendwie mit "einfacher" Mathematik erklären, warum das so ist? Also, ich würde vllt in die Richtung denken, dass ich ja, um die lineare Abhängigkeit zu überprüfen, auch die Matrix in Zeilenstufenform bringe. Und irgendwie würde ich mir jetzt vllt vorstellen, dass die drei Spalten, in denen die Pivots stehen, linear abhängig sind - kann das sein? Naja, muss wohl, wenn sie sogar eine Basis bilden... Oder wie würde man das erklären?
> Im konkreten Beispiel. Die Pivots sitzen in der 1., 2. und
> 4. Spalte. Die gesuchte Basis ist demnach:
>
> [mm]w_1 = (1,0,0,0,0)[/mm] [mm]w_2 = (1,1,0,0,0)[/mm], [mm]w_3 = (1,-1,3,7,0)[/mm]
>
> Was ist das jetzt für ein Raum? Naja, das kann ich Dir auch
> nicht so genau sagen. Es ist halt ein linearer Unterraum
> der Dimension 3 des [mm]\IR^5[/mm]. Was immer das auch sein mag.
Okay, ich dachte, man müsste sich das irgendwie vorstellen können, um eine Basis anzugeben. Aber so ist ja auch okay.
Aber gibt es da keine anderen Möglichkeit, bei der man das mit der Zeilenstufenform nicht wissen muss? Aber ist auch nicht so schlimm, jetzt habe ich ja eine Lösung.
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo,
Ich komme gerade vom Nordic Wandern und bin zu erschöpft für eine ausführliche Antwort. Daher nur ein kleiner Tip.
Es gibt wohl keinen Menschen, der sich einen [mm] $\IR^4$ [/mm] oder einen [mm] $\IC^2$ [/mm] vorstellen kann. Für viele Probleme ist es allerdings schon extrem hilfreich, sich einen Spezialfall mit weniger Dimensionen durch den Kopf gehen zu lassen.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 11.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
ist es nicht total egal, ob ich die Basen aus den Spalten oder den Zeilen der Matrix bilde? Die Zeilen bilden doch auch eine Basis oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Do 11.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane, liebe Britta!
Ihr müsst beide aufpassen, dass ihr euch nichts Falsches einprägt.
Wenn ich aus [mm] $Span(v_1,\ldots,v_k)$ [/mm] eine Basis herausfiltern will, dann muss ich
a) entweder die Koordinaten der [mm] $v_i$ [/mm] in die Spalten schreiben und elementare Spaltenumformungen (nicht Zeilenumformungen!!!)
b) oder die Koordinaten der [mm] $v_i$ [/mm] in die Zeilen schreiben und elementare Zeilenumformungen (nicht Spaltenumformungen!!!)
Zwar gilt, dass der Zeilenrang gleich dem Spaltenrang ist, aber der Zeilenraum (also der von den Zeilenvektoren aufgespannte Unterraum) ist im Allgemeinen ungleich dem Spaltenraum (also dem von den Spaltenvektoren aufgespannten Unterraum).
Der Zeilenraum ändert sich nicht durch elementare Zeilenumformungen, wohl aber im Allgemeinen durch elementare Spaltenumformungen.
Der Spaltenraum ändert sich nicht durch elementare Soaltenumformungen, wohl aber im Allgemeinen durch elementare Zeilenumformungen.
Nun stellen wir uns mal vor wir haben eine Matrix, in deren Zeilen wir die Koordinaten der zu untersuchenden Vektoren geschrieben haben. Wir wissen: Durch elementare Zeilenumformungen ändern wir den Zeilenraum nicht. Haben wir es mittels elementarer Zeilenumformungen geschafft die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen, dann kann man die Koordinaten der Basis leicht ablesen: Sie stecken genau in den Nicht-Nullzeilen. Klar, denn diese Zeilen sind dann offenbar linear unabhängig (und bestimmen zugleich die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren, da der Rest der Matrix ja aus Nullzeilen besteht).
Liebe Grüße
Stefan
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