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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mo 14.02.2005 | | Autor: | DerKalle |
Hallöchen!
Habe ein Problem mit einer Augabe, und zwar:
a und b seien beliebige Vektoren im R²
Zeige: Wenn a und b linear unabhängig sind, sind auch a+b und a-b linear unabhängig und umgekehrt.
Wäre nett, wenn mir jemand weiter helfen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mo 14.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich helfe dir mal bei der einen richtung, die andere kannst du ja selber mal probieren.
seinen $a$ und $b$ linear unabhängig, d.h. aus [mm] $\lambda [/mm] a + [mm] \mu [/mm] b = 0$ folgt [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm] = 0$.
um zu zeigen, dass nun $a+b$ und $a-b$ linear unabhängig sind musst du zeigen, dass aus [mm] $\nu(a+b) [/mm] + [mm] \rho(a-b) [/mm] = 0$ folgt, dass [mm] $\nu [/mm] = [mm] \rho=0$ [/mm] ist.
man sieht durch einfaches ausrechnen: [m] \nu(a+b) + \rho(a-b) = 0 \; \Longleftrightarrow \; (\nu + \rho)a + (\nu - \rho)b = 0 [/m]. da nun aber $a$ und $b$ linear unabhängig sind muss gelten, dass die koeffizienten in der linearkombination null sind, d.h. [mm] $\nu [/mm] + [mm] \rho [/mm] = 0$ und [mm] $\nu [/mm] - [mm] \rho [/mm] = 0$ und daraus folgt, wenn du dieses gleichungssystem löst, dass [mm] $\nu [/mm] = [mm] \rho [/mm] = 0$ also $a+b$ und $a-b$ sind linear unabhängig.
melde dich mit fragen oder am besten mit einem vorschlag für die andere richtung mal wieder.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 14.02.2005 | | Autor: | DerKalle |
Hi andreas!
Danke erstmal für die schnelle Antwort...
Ich kann deine Begründung schon nachvollziehen, mir fällt aber beim besten Willen auch nix für die andere Richtung ein. Wenn du mir noch nen Tip geben würdest?
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Halli hallo!
in der anderen Richtung gehst du genauso vor!
a+b und a-b sind linear unabhängig!
Also folgt aus
[mm] (a+b)\lambda+(a-b)\mu=0 [/mm]
dass
[mm] \lambda=\mu=0
[/mm]
Ausmultiplizieren und ausklammern von a und b ergibt
[mm] a(\underbrace{\lambda+\mu}_{=0+0=0})+b(\underbrace{\lambda-\mu}_{=0-0=0})=0
[/mm]
und damit ist gezeigt, dass auch a und b linnear unabhängig sind!
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Di 15.02.2005 | | Autor: | DerKalle |
Herzlichen Dank euch beiden, ihr habt mir echt weiter geholfen.
Gruß Patrick
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