Vektoren: Linear un-/abhängig < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mi 21.01.2009 | | Autor: | sdj |
| Aufgabe 1 | Sind die Vektoren linear abhängig oder unabhängig?
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Sind die Polynome linear unabhängig?
[mm] P_1 [/mm] = 1-x
[mm] P_2 [/mm] = [mm] 5+3x-2x^2
[/mm]
[mm] P_3 [/mm] = [mm] 1+3x-x^2 [/mm] |
Wie kann ich herausfinden ob die Vektoren linear abhängig sind? - Kann ich einfach die Determinante berechnen und sofern diese ungleich 0 ist, sind die Vektoren linear abhängig?
Wie sieht das bei Polynomen aus?
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> Sind die Vektoren linear abhängig oder unabhängig?
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> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Sind die Polynome linear unabhängig?
>
> [mm]P_1[/mm] = 1-x
> [mm]P_2[/mm] = [mm]5+3x-2x^2[/mm]
> [mm]P_3[/mm] = [mm]1+3x-x^2[/mm]
> Wie kann ich herausfinden ob die Vektoren linear abhängig
> sind? - Kann ich einfach die Determinante berechnen und
> sofern diese ungleich 0 ist, sind die Vektoren linear
> abhängig?
Hallo,
hast Du's mal versucht? Mit dem Versuch sollte sich Deine Frage geklät haben.
> Wie sieht das bei Polynomen aus?
Der Schlüssel zu beidenn Problemen ist die Definiion der linearn Unabhängigkeit .
Die lautet???
Was hast Du folglich zu tun?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mi 21.01.2009 | | Autor: | sdj |
Ja, habe ich. Mit der Additionsmethode konnte ich die Vektoren folgendermassen umformen.
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}
[/mm]
Dadurch ich nun zwei gleiche Reihen habe 0 5 5, habe ich eine gestrichen. Denke das sollte kein Problem sein. Nun von der 3x3 Matrix die Determinante gerechnet.
(20+0+-35)-(0+-5+-10) = 0
Dadurch gehe ich davon aus, dass diese Vektoren linear unabhängig sind.
Kann ich in jedem Fall die Determinante der Vektoren berechnen und im Falle von =0 davon ausgehen dass diese linear unabhängig sind?
Wie das mit den Polynomen funktionieren soll, ist mir im Moment noch ein Rätsel. Vielleicht ein Tipp?
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> Ja, habe ich. Mit der Additionsmethode konnte ich die
> Vektoren folgendermassen umformen.
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Dadurch ich nun zwei gleiche Reihen habe 0 5 5, habe ich
> eine gestrichen. Denke das sollte kein Problem sein.
Hallo,
das Streichen ist sicher kein Problem, allerdings das Finden einer Begründung für dieses Manöver. Es gibt keine.
> Nun
> von der 3x3 Matrix die Determinante gerechnet.
>
> (20+0+-35)-(0+-5+-10) = 0
>
> Dadurch gehe ich davon aus, dass diese Vektoren linear
> unabhängig sind.
Sind sie aber nicht.
>
> Kann ich in jedem Fall die Determinante der Vektoren
> berechnen und im Falle von =0 davon ausgehen dass diese
> linear unabhängig sind?
Du kannst hier keine Determinante berechnen, weil Du eine 4x3-Matrix hast.
> Wie das mit den Polynomen funktionieren soll, ist mir im
> Moment noch ein Rätsel. Vielleicht ein Tipp?
Meine Fragen aus meinem vorherigen Post stehen nach wie vor.
Gruß v. Anela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:20 Mi 21.01.2009 | | Autor: | sdj |
>Meine Fragen aus meinem vorherigen Post stehen nach wie vor.
Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante ungleich null.
>das Streichen ist sicher kein Problem, allerdings das >Finden einer Begründung für dieses Manöver.
>Du kannst hier kine Determinante berechnen, weil Du eine >4x3-Matrix hast.
Eben genau weil ich eine 4x3 Matrix habe, strich ich die eine Reihe.
>Sind sie aber nicht.
Sie sind linear abhängig, dadurch die Determinante null ist. Richtig?
Wie komme ich bei den Polynomen auf die lineare Abhängigkeit?
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> >Meine Fragen aus meinem vorherigen Post stehen nach wie
> vor.
> Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die
> Determinante ungleich null.
Hallo,
nee Du, das ist nicht die Definition der linearen Unabhängigkeit.
Daß das nicht sein kann, merkst Du ja spätestens bei den Polynomen.
Könntest Du jetzt verflixte Kiste endlich bitte mal die Definition der linearen Unabhängigkeit nachschlagen? Nachschlagen. Nicht: ausdenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mi 21.01.2009 | | Autor: | sdj |
Linear unabhängig sind die Vektoren nur wenn für die folgende Vektorgleichung...
[mm] x_1 [/mm] * [mm] \vec(a) [/mm] + [mm] x_2 [/mm] * [mm] \vec(b) [/mm] + [mm] x_3 [/mm] * [mm] \vec(c) [/mm] = 0
nur mit [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_n [/mm] = 0. erfüllt wird.
Mit dem Gausschen Algorithmus kam ich auch folgendes Resultat...
[mm] \begin{pmatrix} x_1*6 \\ x_1*0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2*1 \\ x_2*5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_3*7 \\ x_3*5 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = 1, [mm] x_2 [/mm] = 1, [mm] x_3 [/mm] = -1
Dadurch schliesse ich, dass diese Vektoren linear abhängig sind. Richtig?
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> Linear unabhängig sind die Vektoren nur wenn für die
> folgende Vektorgleichung...
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> [mm]x_1[/mm] * [mm]\vec(a)[/mm] + [mm]x_2[/mm] * [mm]\vec(b)[/mm] + [mm]x_3[/mm] * [mm]\vec(c)[/mm] = 0
>
> nur mit [mm]x_1[/mm] = [mm]x_n[/mm] = 0. erfüllt wird.
Na also, geht doch.
>
> Mit dem Gausschen Algorithmus
Ja, das wäre eine passende Vorgehensweise.
> kam ich auch folgendes
> Resultat...
>
> [mm] \begin{pmatrix} x_1*6 \\ x_1*0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2*1 \\ x_2*5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_3*7 \\ x_3*5 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]x_1[/mm] = 1, [mm]x_2[/mm] = 1, [mm]x_3[/mm] = -1
Hast Du das Ergebnis geprüft? Demnach müßte Vektor 1 +Vektor 2= Vektor 3 sein.
Du hast Dich irgendwo verechnet, aber die Vorgehensweise stimmt nun.
>
> Dadurch schliesse ich, dass diese Vektoren linear abhängig
> sind. Richtig?
Ja.
Mit den Polynomen geht das jetzt genauso.
Gleichung aufstellen, Koeffizientenvergleich durchführen, hieraus entstehendes Gleichungssystem lösen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:45 Do 22.01.2009 | | Autor: | sdj |
@Angela - Besten Dank. Habe den Fehler gefunden.
Bei der Polynomen Aufgabenstellung komme ich auf folgendes Resultat.
[mm] a_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_2\begin{pmatrix} 0 \\ 3x \\ -3x \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_3 \begin{pmatrix} 0 \\ -2x^2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = 0
[mm] a_1 [/mm] = 1
[mm] a_2 [/mm] = 1
[mm] a_3 [/mm] = -2
x = 1
Je nach Wahl von x sind die Polynome linear abhängig oder unabhängig.
Kann mir diese Lösung jemand bestätigen? - Bin mir nämlich nicht ganz sicher.
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> @Angela - Besten Dank. Habe den Fehler gefunden.
>
> Bei der Polynomen Aufgabenstellung komme ich auf folgendes
> Resultat.
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> [mm]a_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]a_2\begin{pmatrix} 0 \\ 3x \\ -3x \end{pmatrix}[/mm] + [mm]a_3 \begin{pmatrix} 0 \\ -2x^2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> = 0
>
> [mm]a_1[/mm] = 1
> [mm]a_2[/mm] = 1
> [mm]a_3[/mm] = -2
> x = 1
>
> Je nach Wahl von x sind die Polynome linear abhängig oder
> unabhängig.
>
> Kann mir diese Lösung jemand bestätigen? - Bin mir nämlich
> nicht ganz sicher.
Hallo,
poste bitte Deinen Rechenweg, dann sieh man gleich, ob Du es richtig gemacht hast und raucht nicht selbst zu Stift und Papier zu greifen.
Das mit "je nach Wahl von x" ist auf jeden Fall verkehrt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 22.01.2009 | | Autor: | sdj |
| Aufgabe | Untersuche ob die Polynome...
[mm] P_1 [/mm] = 1-x
[mm] P_2 [/mm] = [mm] 5+3x-2x^2
[/mm]
[mm] P_3 [/mm] = [mm] 1+3x-x^2
[/mm]
linear unabhängig sind. |
[mm] a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_2\begin{pmatrix} -x \\ 3x \\ 3x \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_3 \begin{pmatrix} 0 \\ -2x^2 \\ -x^2 \end{pmatrix} [/mm] = 0
[mm] a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_2\begin{pmatrix} -x \\ 3x \\ -3x \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_3 \begin{pmatrix} 0 \\ -2x^2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = 0
[mm] a_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_2\begin{pmatrix} 0 \\ 3x \\ -3x \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_3 \begin{pmatrix} 0 \\ -2x^2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = 0
[mm] a_1 [/mm] = 1
[mm] a_2 [/mm] = 1
[mm] a_3 [/mm] = -2
x = 1
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> Untersuche ob die Polynome...
>
> [mm]P_1[/mm] = 1-x
> [mm]P_2[/mm] = [mm]5+3x-2x^2[/mm]
> [mm]P_3[/mm] = [mm]1+3x-x^2[/mm]
>
> linear unabhängig sind.
Hallo,
gut, daß Du's gepostet hast. Das ist völlig falsch.
Das Glück liegt in der Definition der Unabhängigkeit.
Wann sind drei Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] linear unabhängig? Wenn aus [mm] av_1+bv_2+cv_3=0 [/mm] folgt, daß a=b=c=0 ist.
So, und nun aufgepaßt: die drei zu prüfenden Vektoren (also Elemente eines Vektorraumes) sind hier [mm] P_1, P_2, P_3.
[/mm]
Du mußt also aus der Gleichung [mm] aP_1+bP_2+cP_3=0 [/mm] Deine Schlüsse ziehen, wie, das hatte ich in einem der vorhergehenden Posts ja schon beschrieben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 22.01.2009 | | Autor: | sdj |
Heisst das isch schaue jedes Polynom wie ein einziger Vektor an?
[mm] a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -x \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_2\begin{pmatrix} 5 \\ 3x \\ -2x^2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 3x \\ -x^2 \end{pmatrix} [/mm] = 0
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> Heisst das isch schaue jedes Polynom wie ein einziger
> Vektor an?
Jedes der Polynome ist in seiner Eigenschaft als Mitglied des Vektorraumes der Polynome vom Höchstgrad 3 ein Vektor.
Es ist nicht so, daß alle Vektoren solche Spalten sind, wie Du sie aus der Schule kennst. Vektoren sind Elemente eines Vektorraumes. Basta, unddamit erübrigt sich das in Spalten Pressen der armen Polynome.
Ich hab doch die Gleichung aufgeschrieben, und da wo [mm] P_1 [/mm] steht, ist [mm] P_1 [/mm] einzusetzen, völlig ohne nachzudenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Do 22.01.2009 | | Autor: | sdj |
Ok, dann sieht das folgendermassen aus.
[mm] a(1-x)+b(5+3x-2x^2)+c(1+3x-x^2)=0
[/mm]
Wie kann ich nun diese Gleichung auflösen? Kann ich x beliebig wählen?
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> Ok, dann sieht das folgendermassen aus.
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> [mm]a(1-x)+b(5+3x-2x^2)+c(1+3x-x^2)=0[/mm]
>
> Wie kann ich nun diese Gleichung auflösen? Kann ich x
> beliebig wählen?
So ein klein bißchen pikiert bin ich ja nun:
ich habe daraufhingewiesen, daß ich das schon erklärt habe, und Du machst Dir noch nichteinmal die Mühe, nachzulesen.
Ich schrieb "Koeffizientenvergleich".
Sortiere also erstmal so
> [mm] a(1-x)+b(5+3x-2x^2)+c(1+3x-x^2)=0
[/mm]
==> [mm] (...)x^2 [/mm] + (...) x+ (...)=0,
und dann einen Koeffizientenvergleich, welcher auf der Def. der Gleichheit von Polynomen beruht. An den x wird hier nicht rumgefummelt!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Do 22.01.2009 | | Autor: | sdj |
Selbstverständlich habe ich die Posts nochmals durchgelesen. Was ein Koeffizientenvergleich ist, weiss ich jedoch wirklich nicht.
[mm] x^2(-2b-c)+x(-a+3b+3c)+a+5b+c=0
[/mm]
Währe froh wenn mir jemand diesen Koeffizientenvergleich mal vorrechnen könnte, damit ich das Prinzip kapiere. Die Sortierung sollte stimmen. Bin leider ein Praktiker und kann mit all den Begriffen in der Mathematik (noch) nicht viel anfangen.
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> Selbstverständlich habe ich die Posts nochmals
> durchgelesen. Was ein Koeffizientenvergleich ist, weiss ich
> jedoch wirklich nicht.
>
> [mm]x^2(-2b-c)+x(-a+3b+3c)+a+5b+c=0[/mm]
So. Damit die linke Seite =0 ist, müssen die Koeffizienten vor den [mm] x^2, [/mm] x, 1 allesamt =0 sein.
Es folgt also
-2b-c=0
-a+3b+3c=0
a+5b+c=0,
dieses Gleichungssystem löst Du nun, und dann weißt Du, ob a=b=c=0 sein muß oder nicht, und daus weißt Du dann auch über (Un)Abhängigkeit bescheid.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:34 Fr 23.01.2009 | | Autor: | sdj |
Besten Dank für die Geduld und die Ausführliche Erklärung.
a=6
b=-2
c=4
Folglich: Linear abhängig.
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> Besten Dank für die Geduld und die Ausführliche Erklärung.
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> a=6
> b=-2
> c=4
>
> Folglich: Linear abhängig.
Hallo,
genau, sie sind linear abhängig, und Du bist an diese Information gelangt durch strikte Verwendung der Definition der Unabhängigkeit.
Es gibt nun noch einen etwas anderen Weg, die Aufgabe zu lösen, und Dein erster Lösungsversuch deutete mir daraufhin, daß Du sowas in der Art vielleicht in Deinen Unterlagen oder sonstwo gesehen hast. Stichwort: Koordinatenvektoren.
Die drei Polynome entstammen dem VR der reellen Polynome vom Höchstgrad 2. Eine Basis dieses VRes ist [mm] B:=(1,x,x^2).
[/mm]
Man kann nun die Polynome als Koordinatenvektoren bzgl dieser Basis schreiben, und dann die Unabhängigkeit der Koordinatenvektoren prüfen.
Das Polynom [mm] P_2 [/mm] beispielweise hätte bzgl. B den Koordinatenvektor
[mm] P_2= 5-3x-2x^2=\vektor{5\\-3\\-2}_{(B)}
[/mm]
Gruß v. Angela
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