Vektoren - Raute berechnen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mo 28.05.2007 | | Autor: | andihit |
| Aufgabe | PR ist eine Diagonale eines Rhombus PQRS
P (-4|8)
R (8|-12)
Die Länge der 2. Diagonale ist [mm]2*\sqrt{34}[/mm] |
Hi,
Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter  .
Den Mittelpunkte habe ich schon berechnet:
[mm]\vec OM = \bruch{\vec OP + \vec OR}{2} = \vektor{2 \\ -2}[/mm]
Und dann?
Ich hab mir gedacht, man berechnet einmal den Einheits/Richtungsvektor (= das gleiche?) von dem 2. Normalvektor zu PR.
[mm]\vec PR = \vektor{12 \\ -20}[/mm]
2. Normalvektor [mm]\vec PR_1 = \vektor {-20 \\ -12}[/mm]
Einheitsvektor: [mm]\vektor{-5 \\ -3}[/mm].
[mm]\vec OQ[/mm] muss dann der Mittelpunkt [mm]\vec OM[/mm] - die halbe Länge ([mm]\bruch{2*\sqrt{34}}{2}[/mm]) * den Richtungsvektor sein.
[mm]\vec OQ = \vec OM - (\bruch{2*\sqrt{34}}{2}*\vektor{-5 \\ -3})[/mm]
Aber irgendwie kam ich dann bei QS auf [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm], was sicher nicht richtig ist.
Vielen Dank für Antworten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mo 28.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin!
zunächst scheint mir das harter tobak für die mittelstufe, aber gut.
> PR ist eine Diagonale eines Rhombus PQRS
> P (-4|8)
> R (8|-12)
> Die Länge der 2. Diagonale ist [mm]2*\sqrt{34}[/mm]
meine idee wäre, den richtungsvektor zur geraden PR zu bestimmen, dann den darauf senkrechtstehenden vektor, die normale.
der normalenvektor bezieht sich auf ebenen, ich weiss nicht, ob du das meinst.
den mittelpunkt der diagonalen gehst du dann in richtung des richtungsvektors der zweiten diagonalen
links und rechts und zwar jeweils mit der hälfte der länge der diagonalenlänge
> Hi,
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter .
>
> Den Mittelpunkte habe ich schon berechnet:
> [mm]\vec OM = \bruch{\vec OP + \vec OR}{2} = \vektor{2 \\ -2}[/mm]
>
> Und dann?
>
> Ich hab mir gedacht, man berechnet einmal den
> Einheits/Richtungsvektor (= das gleiche?) von dem 2.
> Normalvektor zu PR.
einheitsvektor (oder meinst du einheitsnormalenvektor) ist in beiden fällen nicht das gleiche wie der richtungsvektor.
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mo 28.05.2007 | | Autor: | andihit |
Hi,
Vielen Dank für deine Antwort.
> zunächst scheint mir das harter tobak für die mittelstufe, aber gut.
HTL
> meine idee wäre, den richtungsvektor zur geraden PR zu bestimmen
Wie geht das?
Bzw, ist nicht der 2. Normalvektor (also x und y vertauschen, und das Vorzeichen vom "neuen" y vertauschen) der Richtungsvektor? Die Richtung müsste ja stimmen? Und gekürzt ist das [mm]\vektor{-5 \\ -3}[/mm]
> dann den darauf senkrechtstehenden vektor, die normale.
Normalvektor?
> den mittelpunkt der diagonalen gehst du dann in richtung des richtungsvektors der zweiten diagonalen
> links und rechts und zwar jeweils mit der hälfte der länge der diagonalenlänge
Dann war ja alles richtig, bis auf den Richtungsvektor? Den habe ich falsch bestimmt? (oder auch nicht?)
> einheitsvektor (oder meinst du einheitsnormalenvektor) ist in beiden fällen nicht das gleiche wie der richtungsvektor.
Einheitsvektoren sind ja Vektoren, die die Länge 1 haben. (hm, mein gerechneter "Einheitsvektor" hat irgendwie nicht die Länge 1 ([mm]\sqrt{-5^2 + -3^2} = 5,831...[/mm]) --> Einheitsvektoren sind doch was anderes, nämlich [mm]\bruch{der\,gekuerzte\,Vektor}{die\,Laenge\,des\,gekuerzten\,Vektors} = 1[/mm])
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Mi 30.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin andreas,
> > meine idee wäre, den richtungsvektor zur geraden PR zu
> bestimmen
> Wie geht das?
> Bzw, ist nicht der 2. Normalvektor (also x und y
> vertauschen, und das Vorzeichen vom "neuen" y vertauschen)
> der Richtungsvektor? Die Richtung müsste ja stimmen? Und
> gekürzt ist das [mm]\vektor{-5 \\ -3}[/mm]
im prinzip ja, wenn zwei geraden senkrecht auf einander stehen (orthogonal zu einander sind), dann gilt für das skalarprodukt ihrer richtungsvektoren:
[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
[mm] \vektor{3 \\ -5} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
3*x + (-5)*y = 0
wenn x=5 ist, dann ist y= 3
wenn x=-5 ist, dann ist y= -3
>
> > dann den darauf senkrechtstehenden vektor, die normale.
> Normalvektor?
nein, nicht der normalenvektor, diesen gibt es nur für ebenen, wie ich schon sagte.
> Einheitsvektoren sind ja Vektoren, die die Länge 1 haben.
> (hm, mein gerechneter "Einheitsvektor" hat irgendwie nicht
> die Länge 1 ([mm]\sqrt{-5^2 + -3^2} = 5,831...[/mm]) -->
> Einheitsvektoren sind doch was anderes, nämlich
> [mm]\bruch{der\,gekuerzte\,Vektor}{die\,Laenge\,des\,gekuerzten\,Vektors} = 1[/mm])
das ist schlicht falsch. einheitsvektoren sind vektoren, die definitionsgemäß die länge 1 besitzen. denk doch mal an den einheitskreis, wie lang ist der radius?
man kann den einheitsvektor, wenn man ihn denn braucht, ermitteln, indem man den vektor durch seine länge teilt.
gruß
wolfgang
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Muss man das unbedingt mit Vektoren machen? Naja, vielleicht geht es damit wirklich leichter.
Den Mittelpunkt (2/-2) hast du ja schon richtig bestimmt.
Du könntest nun auch die Steigung der Geraden durch P und R bestimmen.
Weißt du, wie das geht?
Die Diagonale [mm] \overline{SQ} [/mm] steht genau senkrecht auf [mm] \overline{PR}. [/mm] Die Länge von [mm] \overline{SQ} [/mm] ist bekannt.
Vom Mittelpunkt gehst du also jeweils die halbe Länge in die eine sowie in die andere Richtung, um zu S bzw. Q zu gelangen.
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Ich habe es jetzt auch noch mal mit Vektoren gerechnet.
Das ging leichter, als ich vermutet hatte. Irgendwie sieht mir das, was du da hast, zu kompliziert aus. Was hast du denn am Ende raus, wo S und Q liegen?
Mittelpunkt ist [mm] M\vektor{2 \\ -2} [/mm] Soweit waren wir ja schon.
Der Vektor in Richtung R ist dann [mm] \vektor{6 \\ -10}
[/mm]
Da die Vektoren in Richtung S und Q senkrecht auf oen genanntem Vektor stehen haben diese die Richtung [mm] \vektor{5 \\ 3} [/mm] bzw. [mm] \vektor{-5 \\ -3}.
[/mm]
Die Länge dieser Vektoren ist [mm] \wurzel{34} [/mm] (Die Hälfte von der Diagonalen mit der gegebenen Länge [mm] 2*\wurzel{34})
[/mm]
[mm] (5x)^{2}+(3x)^{2}=34 [/mm]
[mm] 25*x^{2}+9*x^{2}=34
[/mm]
[mm] 34*x^{2}=34
[/mm]
Da ist x=1 so dass der Vektor [mm] \vektor{5 \\ 3} [/mm] bzw. [mm] \vektor{-5 \\ -3} [/mm] um den Faktor 1 verlängert wird (d.h. seine Länge sich gar nicht ändert)
Also addiert man diese Vektoren zu [mm] M\vektor{2 \\ -2} [/mm] hinzu und bekommt dann S und Q.
S (-3|-5) und Q (7|1)
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