Vektoranalysis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet | Datum: | 16:36 So 21.12.2008 | Autor: | kersch |
Aufgabe | Hallo,
ich soll folgendes berechnen:
[mm] \vec{v}\cdot\\nabla(\vec{v})
[/mm]
dabei ist [mm] \vec{v} [/mm] ein Geschwindigkeitsvektor der sich in Komponenten wie folgt zerlegen läßt:
[mm] \vec{v}=u\cdot\vec{i}+v\cdot\vec{j}+w\cdot\vec{k}
[/mm]
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Mein Lösungsansatz sieht so aus:
[mm] nabla(\vec{v})=\bruch{\partial\\u}{\partial\\x}+\bruch{\partial\\u}{\partial\\y}+\bruch{\partial\\u}{\partial\\z}+\bruch{\partial\\v}{\partial\\x}+\bruch{\partial\\v}{\partial\\y}+\bruch{\partial\\v}{\partial\\z}+\bruch{\partial\\w}{\partial\\x}+\bruch{\partial\\w}{\partial\\y}+\bruch{\partial\\w}{\partial\\z}
[/mm]
Nun muss ich das noch mit [mm] \vec{v} [/mm] multiplzieren dann bekomme ich das hier raus:
[mm] \\u\cdot\bruch{\partial\\u}{\partial\\x}\cdot\vec{i}+\\u\cdot\bruch{\partial\\u}{\partial\\y}\cdot\vec{i}+\\u\cdot\bruch{\partial\\u}{\partial\\z}\cdot\vec{i}+\\v\cdot\bruch{\partial\\v}{\partial\\x}\cdot\vec{j}+\\v\cdot\bruch{\partial\\v}{\partial\\y}\cdot\vec{j}+\\v\cdot\bruch{\partial\\v}{\partial\\z}\cdot\vec{j}+\\w\cdot\bruch{\partial\\w}{\partial\\x}\cdot\vec{k}+\\w\cdot\bruch{\partial\\w}{\partial\\y}\cdot\vec{k}+\\w\cdot\bruch{\partial\\w}{\partial\\z}\cdot\vec{k}=(\\u\cdot\bruch{\partial\\u}{\partial\\x}+\\u\cdot\bruch{\partial\\u}{\partial\\y}+\\u\cdot\bruch{\partial\\u}{\partial\\z})\cdot\vec{i}+(\\v\cdot\bruch{\partial\\v}{\partial\\x}+\\v\cdot\bruch{\partial\\v}{\partial\\y}+\\v\cdot\bruch{\partial\\v}{\partial\\z})\cdot\vec{j}+(\\w\cdot\bruch{\partial\\w}{\partial\\x}+\\w\cdot\bruch{\partial\\w}{\partial\\y}+\\w\cdot\bruch{\partial\\w}{\partial\\z})\cdot\vec{k}
[/mm]
Mein Problem ist jetzt folgendes: Als Lösung sollte herauskommen:
[mm] (\\u\cdot\bruch{\partial\\u}{\partial\\x}+\\v\cdot\bruch{\partial\\u}{\partial\\y}+\\w\cdot\bruch{\partial\\u}{\partial\\z})\cdot\vec{i}+(\\u\cdot\bruch{\partial\\v}{\partial\\x}+\\v\cdot\bruch{\partial\\v}{\partial\\y}+\\w\cdot\bruch{\partial\\v}{\partial\\z})\cdot\vec{j}+(\\u\cdot\bruch{\partial\\w}{\partial\\x}+\\v\cdot\bruch{\partial\\w}{\partial\\y}+\\w\cdot\bruch{\partial\\w}{\partial\\z})\cdot\vec{k}
[/mm]
Ich finde meinen Fehler nicht. Villeicht könnt ihr mir das erklären. Es wäre jedenfalls sehr nett.
Ich bedanke mich schon mal im voraus.
LG
kersch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | Datum: | 16:45 So 21.12.2008 | Autor: | Merle23 |
Du hast den Gradienten falsch ausgerechnet. Es muss ein Vektor rauskommen. Siehe hier.
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(Frage) beantwortet | Datum: | 17:02 So 21.12.2008 | Autor: | kersch |
Hallo,
Also Nabla ist ja wie folgt definiert:
[mm] Nabla=\vektor{\bruch{\partial}{\partial\\x} \\ \bruch{\partial}{\partial\\y} \\ \bruch{\partial}{\partial\\z}} [/mm] und [mm] \vec{v}=u\vec{i}+v\vec{j}+w\vec{k}
[/mm]
Dann ist [mm] Nabla(\vec{v})=\bruch{\partial\\u}{\partial\\x}\cdot\vec{i}+\bruch{\partial\\v}{\partial\\x}\cdot\vec{j}+\bruch{\partial\\w}{\partial\\x}\cdot\vec{k}+\bruch{\partial\\u}{\partial\\y}\cdot\vec{i}+\bruch{\partial\\v}{\partial\\y}\cdot\vec{j}+\bruch{\partial\\w}{\partial\\y}\cdot\vec{k}+\bruch{\partial\\u}{\partial\\z}\cdot\vec{i}+\bruch{\partial\\v}{\partial\\z}\cdot\vec{j}+\bruch{\partial\\w}{\partial\\z}\cdot\vec{k}
[/mm]
[mm] Nabla(\vec{v}) [/mm] muss doch eigentlich einen Skalar ergeben und kein Vektor denn [mm] \vec{v}\cdot(Nabla(\vec{v})) [/mm] soll ja ein Vektor rauskommen!
LG
kersch
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(Antwort) fertig | Datum: | 17:14 So 21.12.2008 | Autor: | Merle23 |
[mm]\nabla(\vec{v}) = \vektor{\frac{\partial}{\partial x}\vec{v} \\ \frac{\partial}{\partial y}\vec{v} \\ \frac{\partial}{\partial z}\vec{v}}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 17:29 So 21.12.2008 | Autor: | kersch |
Hallo,
ok. Vielen Dank jetzt komme ich auf das richtige Ergebnis.
LG
kersch
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