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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Vektor \in \IR^3 injektiv auf?
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Vektor \in \IR^3 injektiv auf?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:34 Fr 06.12.2013
Autor: EvelynSnowley2311

Huhu und gute Morgen!

Ich muss einen Definitionsbereich finden, sodass

[mm] \vektor{ p * cos (x) \\ p * sin(x) \\ t} [/mm]  , p,t [mm] \in \IR [/mm]

injektiv ist.

Würde ich jetzt x auf  [0, [mm] \pi [/mm] ] einschränken, so wär mein cosinus injektiv, aber nicht der Sinus, aber wäre trotzdem der Vektor injektiv oder? Da die zweite Komponente evtl sich wiederholen könnte aber die erste nicht zweimal vorkommt

        
Bezug
Vektor \in \IR^3 injektiv auf?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Fr 06.12.2013
Autor: fred97


> Huhu und gute Morgen!
>  
> Ich muss einen Definitionsbereich finden, sodass
>  
> [mm]\vektor{ p * cos (x) \\ p * sin(x) \\ t}[/mm]  , p,t [mm]\in \IR[/mm]
>  
> injektiv ist.
>  
> Würde ich jetzt x auf  [0, [mm]\pi[/mm] ] einschränken, so wär
> mein cosinus injektiv, aber nicht der Sinus, aber wäre
> trotzdem der Vektor injektiv oder? Da die zweite Komponente
> evtl sich wiederholen könnte aber die erste nicht zweimal
> vorkommt


Wenn ich Dich richtig verstehe, so suchst Du eine Teilmenge M von [mm] \IR, [/mm] so dass Die Funktion

  [mm] $f:\IR \times [/mm] M [mm] \times \IR \to \IR^3,$ [/mm]

  [mm] $f(p,x,t):=\vektor{ p \cdot{} cos (x) \\ p \cdot{} sin(x) \\ t} [/mm] $

injektiv ist.

Das wird Dir aber nicht gelingen,falls M mehr als ein Element enthält, denn es ist

    [mm] $f(0,x,0)=\vektor{ 0 \\ 0\\ 0} [/mm] $   für alle x [mm] \in [/mm] M.

FRED

Bezug
                
Bezug
Vektor \in \IR^3 injektiv auf?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Fr 06.12.2013
Autor: EvelynSnowley2311


> > Huhu und gute Morgen!
>  >  
> > Ich muss einen Definitionsbereich finden, sodass
>  >  
> > [mm]\vektor{ p * cos (x) \\ p * sin(x) \\ t}[/mm]  , p,t [mm]\in \IR[/mm]
>  
> >  

> > injektiv ist.
>  >  
> > Würde ich jetzt x auf  [0, [mm]\pi[/mm] ] einschränken, so wär
> > mein cosinus injektiv, aber nicht der Sinus, aber wäre
> > trotzdem der Vektor injektiv oder? Da die zweite Komponente
> > evtl sich wiederholen könnte aber die erste nicht zweimal
> > vorkommt
>
>
> Wenn ich Dich richtig verstehe, so suchst Du eine Teilmenge
> M von [mm]\IR,[/mm] so dass Die Funktion
>  
> [mm]f:\IR \times M \times \IR \to \IR^3,[/mm]
>  
> [mm]f(p,x,t):=\vektor{ p \cdot{} cos (x) \\ p \cdot{} sin(x) \\ t}[/mm]
>
> injektiv ist.
>  
> Das wird Dir aber nicht gelingen,falls M mehr als ein
> Element enthält, denn es ist
>  
> [mm]f(0,x,0)=\vektor{ 0 \\ 0\\ 0}[/mm]   für alle x [mm]\in[/mm] M.
>  
> FRED


mm blöd, würde meine Argumentation denn hinhauen, wenn ich p nur auf [mm] \IR [/mm] ohne {0} betrachte?

Bezug
                        
Bezug
Vektor \in \IR^3 injektiv auf?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Fr 06.12.2013
Autor: Diophant

Hallo,

beachte, was dir Angela schon geschrieben hat. Damit sollte es einleuchten, dass

[mm] p\ne{0} [/mm]

noch nicht ganz ausreicht, was aber gar nicht so ganz leicht ist einzusehen: p skaliert ja die beiden oberen Koordinaten, nennen wir sie [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2. [/mm] Dabei gibt es für [mm] x\in[0;2\pi) [/mm] nur zwei Stellen, an denen cos(x)=sin(x) gilt. Dabei nehmen die beiden Funktionen die Werte [mm] \wurzel{2}/2 [/mm] oder [mm] -\wurzel{2}/2 [/mm] an. Also gibt es unterschiedliche Paare (p,x), so dass bei festem t deine Funktion den gleichen Wert annimmt, nämlich für [mm] (p;\pi/2;t) [/mm] und für [mm] (-p;3/2\pi;t). [/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Vektor \in \IR^3 injektiv auf?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Fr 06.12.2013
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ich finde die Überschrift und auch die gepostete Fragestellung etwas dubios.
Wie lautet der Originaltext der Aufgabe?

"Injektiv" ist ja nun eine Eigenschaft, die Funktionen haben können - und nicht Vektoren.

Offenbar geht es um eine vektorwertige Funktion.

Aber Du mußt schon verraten, ob wir über eine Funktion, die aus einer Teilmenge des [mm] \IR^3 [/mm] heraus abbildet, reden, also über

[mm] f(p,x,t):=\vektor{ p * cos (x) \\ p *  sin(x) \\ t}  [/mm]

oder ob es um die Funktion [mm] f:\IR\to \IR^3 [/mm] mit

[mm] f(x):=\vektor{ p * cos (x) \\ p *  sin(x) \\ t}  [/mm] , p,t fest

geht, oder um etwas ganz anderes.

Letztere beschreibt [mm] fürp\not=0 [/mm] einen Kreis,
und für [mm] x\in [0,2\pi[ [/mm] sollte die Funktion injektiv sein.

LG Angela

Bezug
                
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Vektor \in \IR^3 injektiv auf?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:42 Fr 06.12.2013
Autor: EvelynSnowley2311

Hallo,
>  
> ich finde die Überschrift und auch die gepostete
> Fragestellung etwas dubios.
>  Wie lautet der Originaltext der Aufgabe?
>  
> "Injektiv" ist ja nun eine Eigenschaft, die Funktionen
> haben können - und nicht Vektoren.
>  
> Offenbar geht es um eine vektorwertige Funktion.
>  
> Aber Du mußt schon verraten, ob wir über eine Funktion,
> die aus einer Teilmenge des [mm]\IR^3[/mm] heraus abbildet, reden,
> also über
>  
> [mm]f(p,x,t):=\vektor{ p * cos (x) \\ p *  sin(x) \\ t} [/mm]
>  
> oder ob es um die Funktion [mm]f:\IR\to \IR^3[/mm] mit
>  
> [mm]f(x):=\vektor{ p * cos (x) \\ p *  sin(x) \\ t} [/mm] , p,t
> fest
>  
> geht, oder um etwas ganz anderes.
>  
> Letztere beschreibt [mm]fürp\not=0[/mm] einen Kreis,
>  und für [mm]x\in [0,2\pi[[/mm] sollte die Funktion injektiv sein.
>  
> LG Angela

Entschuldige meine Ungenauigkeit! Eigentlich geht es um f(x), nicht f(p,x,t), p,t sind [mm] \in \IR [/mm] .

Ich habe mich für meine Aufgabe aber gefragt (unabhängig von der Aufgabenstellung) , was wäre, wenn ich an den festen p und t auch dran rumdrehen dürfte, ob der erlaubte Bereich dann in der Theorie dort größer wäre. Daher meine Betrachtung für p [mm] \not= [/mm] 0

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