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Forum "Lineare Abbildungen" - Vektor im Kern
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Vektor im Kern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Di 22.07.2008
Autor: Lat

Aufgabe
Eine lineare Abbildung L: [mm] \IR^{2}\to\IR^{2} [/mm] ist gegeben durch

[mm] L(\vektor{1\\ 0}=\vektor{2 \\ 0} [/mm] und [mm] L(\vektor{1\\ 1}=\vektor{-1 \\ 0} [/mm]

Bestimmen Sie einen Vektor   [mm] \vec v\not=\vec [/mm] 0 im Kern von L

Moin,

Die Lösung ist [mm] \vektor{3\\ 2}! [/mm] Doch wie kommt man darauf, wie berechnet man das?
Über eure Hilfe würde ich mich freuen!
Aso hab die Frage in keinem anderem Forum auf keiner anderen Site gestellt.

Mfg Lat


        
Bezug
Vektor im Kern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Di 22.07.2008
Autor: fred97

Zunächst sind  [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] linear unabhängig in [mm] R^2. [/mm]

Sei v im Kern von L. Es ex.  [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] in R mit

v = [mm] \alpha \vektor{1 \\ 0}+\beta \vektor{1 \\ 1}, [/mm] somit

  0 = L(v) = [mm] \alpha [/mm] L( [mm] \vektor{1 \\ 0}) [/mm] + [mm] \beta [/mm] L( [mm] \vektor{1 \\ 1}) [/mm] =
               [mm] \alpha \vektor{2 \\ 0}+\beta \vektor{-1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{2\alpha- \beta \\ 0} [/mm]

Es muß also [mm] 2\alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] gelten.

Wählt man z. B. [mm] \alpha [/mm] = 1, so ist [mm] \beta [/mm] = 2 und  v = [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm]


FRED

Bezug
                
Bezug
Vektor im Kern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 Di 22.07.2008
Autor: Lat

Danke! War sehr verständlich!

Bezug
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