Variation ohne WDH < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Ursus |
| Aufgabe | Sei W die Menge aller Worte der Länge 5, die man mit den drei Buchstaben a,b,c bilden kann.
1) Wie viele Elemente hat W?
2) In wie vielen Worten aus W kommen tatsächlich alle drei Buchstaben a,b,c vor?
Hinweis: Stirlingzahlen 2. Art |
Hallo Leute!
ad 1) ich glaube, dass W aus [mm] 3^5 [/mm] = 243 Elemente besteht, da es ja eine Variation mit WDH ist.
ad 2) Bei zwei bin ich mir nicht sicher wie ich die Stirlingzahlen 2. Art verwenden kann. Die Stirlingzahlen 2. Art geben ja die Anzahl der Partitionen einer Menge mit n Elementen in genau k-Teile an.
Aber ich kann doch nicht einfach S(5,2) berechnen, da müssten denn noch einige Möglichkeiten abgezogen werden.
Wie kann ich die Stirlingzahlen bei Teil 2 verwenden?
Vielen Dank für eure wertvolle Hilfe!!
mfg URSUS
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Sa 11.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei W die Menge aller Worte der Länge 5, die man mit den
> drei Buchstaben a,b,c bilden kann.
> 1) Wie viele Elemente hat W?
> 2) In wie vielen Worten aus W kommen tatsächlich alle
> drei Buchstaben a,b,c vor?
> Hinweis: Stirlingzahlen 2. Art
> Hallo Leute!
>
> ad 1) ich glaube, dass W aus [mm]3^5[/mm] = 243 Elemente besteht, da
> es ja eine Variation mit WDH ist.
Genau.
> ad 2) Bei zwei bin ich mir nicht sicher wie ich die
> Stirlingzahlen 2. Art verwenden kann. Die Stirlingzahlen 2.
> Art geben ja die Anzahl der Partitionen einer Menge mit n
> Elementen in genau k-Teile an.
> Aber ich kann doch nicht einfach S(5,2) berechnen, da
> müssten denn noch einige Möglichkeiten abgezogen werden.
Warum willst du da was abziehen? Ich wuerde $S(5, 2)$ mit 6 multiplizieren 
> Wie kann ich die Stirlingzahlen bei Teil 2 verwenden?
Also, wenn du ein Wort mit fuenf Buchstaben hast, so dass alle drei Buchstaben a,b,c vorkommen, so kannst du ja drei Mengen $A, B, C$ von [mm] $\{ 1, \dots, 5 \}$ [/mm] bilden, so dass $A$ die Indices der Buchstaben enthaelt, die a sind, etc. Dann ist [mm] $\{ A, B, C \}$ [/mm] eine Partition von [mm] $\{ 1, \dots, 5 \}$ [/mm] in drei nichtleere Teilmengen.
Wenn du jetzt umgekehrt eine Partition gegeben hast, wieviele Woerter kannst du daraus konstruieren so, das wenn man wie gerade vorgeht, genau diese Partition herauskommt?
HTH & LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Ursus |
Danke für deine Hilfe.
Deine Frage kann ich leider nicht beantworten.
Mir ist zwar schon klar, was zu meinst, aber ich kanns mir nicht ausrechnen.
Noch ne Frage: Warum multiplizierst du S(5,2) mit 6?
Kommt es davon da 6 die Anzahl der Möglichkeiten ist a,b,c auf 2 Plätze zu setzen oder liege ich da falsch.
Lg, URSUS
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Sa 11.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Danke für deine Hilfe.
> Deine Frage kann ich leider nicht beantworten.
> Mir ist zwar schon klar, was zu meinst, aber ich kanns mir
> nicht ausrechnen.
Ueberleg doch noch mal: Wenn du zwei Woerter $w$ und $w'$ hast, und $A,B,C$ die Partition zu $w$ ist und $A',B',C'$ die Partition zu $w'$, und wenn [mm] $\{ A, B, C \} [/mm] = [mm] \{ A', B', C' \}$ [/mm] ist, wie siehts dann aus?
Es ist ja $A' [mm] \in \{ A, B, C \}$, [/mm] und $B' [mm] \in \{ A, B, C \} \setminus \{ A' \}$ [/mm] und $C'$ ist das einzige Element in [mm] $\{ A, B, C \} \setminus \{ A', B' \}$.
[/mm]
Also wieviele Moeglichkeiten gibt es hoechstens fuer ein solches $w'$?
Jetzt musst du dir nur noch ueberlegen, dass es tatsaechlich so viele verschiedene solche Woerter $w'$ gibt! (Aber das ist jetzt wirklich nicht schwer.)
> Noch ne Frage: Warum multiplizierst du S(5,2) mit 6?
Das sollte dir aus dem oben klar werden. Aber du bist schon recht nah dran:
> Kommt es davon da 6 die Anzahl der Möglichkeiten ist a,b,c
> auf 2 Plätze zu setzen oder liege ich da falsch.
Wieso auf 2? Du verteilst a,b,c auf drei Plaetze. Und dafuer gibt es 6 Moeglichkeiten.
LG Felix
|
|
|
|
