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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Mo 24.10.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der DGL durch Variation der Konstanten.
y'''-y'' = x |
Also zunächst habe ich das Fundamentalsystem aufgestellt.
FS : 1, x, [mm] e^{x}
[/mm]
Anschließend habe ich dann mit folgender Matrixrechnung die Konstanten errechnet:
[mm] \pmat{ 1 & x & e^{x} \\ 0 & 1 & e^{x} \\ 0 & 0 & e^{x} } [/mm] * [mm] \vec{c'} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ x}
[/mm]
Die Gleichungen habe ich dann aufgelöst und komme auf
[mm] c_{1}' [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] - x
[mm] c_{2}' [/mm] = -x
[mm] c_{3}' [/mm] = [mm] xe^{-x}
[/mm]
Anschließende Integration führt zu
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^{2}
[/mm]
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}x^{2}
[/mm]
[mm] c_{3} [/mm] = [mm] e^{-x}(-1-x)
[/mm]
Dann bestimme ich die partikuläre Lösung mit
[mm] y_{p}(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{3}c_{i}y_{i} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{6}x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^{2} [/mm] - x -1
Ist das richtig, weil ich irgendwie glaube, dass es falsch ist. Habe es mit dem Ansatz Typ der rechten Seite probiert und da kam raus, dass [mm] y_{p} [/mm] = 0 ist und deshalb glaube ich das irgendetwas falsch ist. Wahrscheinlich beides -.-
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Hallo al3pou,
> Bestimme die allgemeine Lösung der DGL durch Variation der
> Konstanten.
>
> y'''-y'' = x
> Also zunächst habe ich das Fundamentalsystem
> aufgestellt.
>
> FS : 1, x, [mm]e^{x}[/mm]
>
> Anschließend habe ich dann mit folgender Matrixrechnung
> die Konstanten errechnet:
>
> [mm]\pmat{ 1 & x & e^{x} \\ 0 & 1 & e^{x} \\ 0 & 0 & e^{x} }[/mm] *
> [mm]\vec{c'}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ x}[/mm]
>
> Die Gleichungen habe ich dann aufgelöst und komme auf
>
> [mm]c_{1}'[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] - x
> [mm]c_{2}'[/mm] = -x
> [mm]c_{3}'[/mm] = [mm]xe^{-x}[/mm]
>
> Anschließende Integration führt zu
>
> [mm]c_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x^{2}[/mm]
> [mm]c_{2}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}x^{2}[/mm]
> [mm]c_{3}[/mm] = [mm]e^{-x}(-1-x)[/mm]
>
> Dann bestimme ich die partikuläre Lösung mit
>
> [mm]y_{p}(x)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{3}c_{i}y_{i}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{6}x^{3}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{2}x^{2}[/mm] - x -1
>
> Ist das richtig, weil ich irgendwie glaube, dass es falsch
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist. Habe es mit dem Ansatz Typ der rechten Seite probiert
> und da kam raus, dass [mm]y_{p}[/mm] = 0 ist und deshalb glaube ich
> das irgendetwas falsch ist. Wahrscheinlich beides -.-
Da 0 eine doppelte Nullstelle des charakterischen Polynoms ist,
und die rechte Seite der DGL ein lineares Polynom ist, ist hier der Ansatz
[mm]y_{p}\left(x\right)=x^{2}*\left(a*x+b\right)[/mm]
zu machen.
Das Ergebnis, das Du hier herausbekommst, stimmt bis auf
das lineare Polynom, das Du bei der Variation der Konstanten
heraubekommen hast. Dieses lineare Polynom ist aber eine
Lösung der homogenen DGL.
Gruss
MathePower
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