Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] xy'=x^2-y [/mm] |
Hallo
Habe ja als komogenen Teil:
xy'+y=0
[mm] y'=-\bruch{y}{x}=z
[/mm]
[mm] z'=-[\bruch{y'*x-y}{x^2}]
[/mm]
[mm] z'=-\bruch{y'}{x}+\bruch{y}{x^2}
[/mm]
Nach Variablentrennung:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{-2z}dz}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}ln(-\bruch{y}{x})=ln(x)+C
[/mm]
[mm] -\bruch{y}{x}=e^{-2ln(x)-2C}
[/mm]
[mm] y=-e^{-2ln(x)-2C}*x
[/mm]
An dieser Stelle würde ich gerne wissen wie ich den ganzen Term vereinfachen kann und ob das ganze überhaupt soweit richtig ist für miene homogene Lösung? Das C im Exponenten ist ja nicht so schön wenn ich C(x) für die inhomogene Lösung berechnen muss.
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Gruß mathefreak
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Moin mathefreak,
> [mm]xy'=x^2-y[/mm]
> Hallo
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> Habe ja als komogenen Teil:
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> xy'+y=0
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> [mm]y'=-\bruch{y}{x}=z[/mm]
>
> [mm]z'=-[\bruch{y'*x-y}{x^2}][/mm]
>
> [mm]z'=-\bruch{y'}{x}+\bruch{y}{x^2}[/mm]
>
> Nach Variablentrennung:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{-2z}dz}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2}ln(-\bruch{y}{x})=ln(x)+C[/mm]
>
> [mm]-\bruch{y}{x}=e^{-2ln(x)-2C}[/mm]
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> [mm]y=-e^{-2ln(x)-2C}*x[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es ist [mm] -e^{-2\ln(x)-2C}*x=-e^{-2\ln(x)}e^{-2C}*x=x^{-2}*C_1*x=\frac{C_1}{x}, [/mm] wobei [mm] C_1:=-e^{-2C}.
[/mm]
LG
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Kann es sein dass du ein - vergessen hast bei
[mm] \red{-}x^{-2}*C_1*x
[/mm]
und wie bist du auf [mm] C_1 [/mm] gekommen muss ich nich für meine inhomogenen Lösungen C(x) berechnen?
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Hallo mathefreak89,
> Kann es sein dass du ein - vergessen hast bei
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> [mm][red]-[\red]x^{-2}*C_1*x[/mm][/red][/mm]
Nein, das "-" hat kamaleonti mit in die Konstante gepackt:
[mm]-e^{-2\ln(x)}\cdot{}e^{-2C}\cdot{}x=\blue{-e^{-2C}}\cdot{}x\cdot{}e^{-2\ln(x)}=\blue{C_1}\cdot{}\frac{1}{x}[/mm]
> [mm][red] [/red][/mm]
> [mm][red]und wie bist du auf C_1[/mm] gekommen muss ich nich für meine [/red][/mm]
> [mm][red]inhomogenen Lösungen C(x) berechnen?[/red][/mm]
> [mm][red] [/red][/mm]
> [mm][red] [/red][/mm]
[mm]C_1[/mm] ist einfach nur eine Umbenennung der Konstante [mm]-e^{-2C}[/mm]
Um eine spezielle Lösung [mm]y_p[/mm] der inhomog. Dgl abzugreifen, ist nun Variation der Konstante angesagt.
Mache [mm]C_1[/mm] von x abhängig:
[mm]y_{p}(x)=C_1(x)\cdot{}\frac{1}{x}[/mm]
Das nun ableiten und mit der Ausgangsdgl. vergleichen ...
Gruß
schachuzipus
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