Varianzberechnung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 So 21.02.2010 | | Autor: | hagen85 |
Hallo,
ich komme beim Berechnen einer Varianz nicht weiter:
[mm] \summe_{i=1}^{n} V[(X_i-\mu)^2]
[/mm]
Wäre cool wenn mir jemand helfen könnte. Achja normalverteilte Grundgesamtheit mit Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und Varianz Sigma². Stichprobe i.i.d.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
VG Hagen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mo 22.02.2010 | | Autor: | hagen85 |
Danke für deine Antwort.
Du hast also den Varianzverschiebungssatz angewendet. Der zweite Teil deiner Lösung ist ja dann [mm] \sigma^4. [/mm] Aber wie kann ich den ersten vereinfachen?
Mit der Summe und der i.i.d. Annahme müsste letztlich [mm] 2n\sigma^4 [/mm] rauskommen. Mir fehlen halten nur die Regeln um dahin zukommen.
--> hat sich erledigt, wegen der i.i.d Annahme gilt natürlich auch [mm] E[(X-\mu)^4]=E[(X-\mu)^2]*E[(X-\mu)^2]
[/mm]
Dankeschön
VG Hagen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mo 22.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Hagen,
> --> hat sich erledigt, wegen der i.i.d Annahme gilt
> natürlich auch [mm]E[(X-\mu)^4]=E[(X-\mu)^2]*E[(X-\mu)^2][/mm]
Nein. Ich nehme mal an, die [mm] $X_i$ [/mm] sind als stochastisch unabhängig vorausgesetzt. [mm] $(X_i-\mu)^2$ [/mm] ist sicherlich nicht stochastisch unabhängig von sich selbst.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mo 22.02.2010 | | Autor: | hagen85 |
Danke für die Korrektur, wenn die Beziehung die ich hergestellt habe nicht stimmt, wie komme ich denn sonst aus [mm] E[(X_i-\mu)^4] [/mm] auf [mm] \sigma^4?
[/mm]
Und mal noch aus Interesse, wie ändert sicht das Ganze wenn dort anstatt [mm] \mu [/mm] das arithmetische Mittel steht?
VG Hagen
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Hallo!
Ich hatte mir gedacht, vielleicht könnte man es auch so berechnen:
[mm] $Var((X-\mu)^{2}) [/mm] = [mm] Var\left(\sigma^{2}*\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right) [/mm] = [mm] \sigma^{4}*Var\left(\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right)$
[/mm]
... Und die Größe in der Varianz ist Chi - Quadrat - verteilt (1 Freiheitsgrad), hat also Varianz 2.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 22.02.2010 | | Autor: | hagen85 |
Danke für die Antwort.
Das sieht gut aus. Aber woher weißt du, dass du für [mm] V[(X_i-\mu)^2] [/mm] auch [mm] V[\sigma^2*(\bruch{x-\mu}{\sigma})^2] [/mm] schreiben kannst, was ist das für eine Regel? Das mit dem Chi-Quadrat versteh ich dann wieder.
Sorry, dass ich mich ein bißchen blöd anstelle aber würd gern den Rechenweg verstehen.
Vg Hagen
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Hallo Hagen,
> Danke für die Antwort.
> Das sieht gut aus. Aber woher weißt du, dass du für
> [mm]V[(X_i-\mu)^2][/mm] auch [mm]V[\sigma^2*(\bruch{x-\mu}{\sigma})^2][/mm]
> schreiben kannst, was ist das für eine Regel?
Ich habe zwar keine Ahnung von der Materie, aber es sind doch die Ausdrücke in den eckigen Klammern identisch (zumindest so wie Stefan sie aufgeschrieben hat) ...
[mm] $\left(X_i-\mu\right)^2=\red{1}\cdot{}\left(X_i-\mu\right)^2=\red{\frac{\sigma^2}{\sigma^2}}\cdot{}\left(X_i-\mu\right)^2=\sigma^2\cdot{}\frac{\left(X_i-\mu\right)^2}{\sigma^2}=\sigma^2\cdot{}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2$
[/mm]
> Das mit dem Chi-Quadrat versteh ich dann wieder.
>
>
> Sorry, dass ich mich ein bißchen blöd anstelle aber würd
> gern den Rechenweg verstehen.
>
> Vg Hagen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Mo 22.02.2010 | | Autor: | hagen85 |
Vielen Dank, das hätte ich wohl nur sehen müssen.:-D
VG
Hagen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Mo 22.02.2010 | | Autor: | luis52 |
> Ich hatte mir gedacht, vielleicht könnte man es auch so
> berechnen:
>
> [mm]Var((X-\mu)^{2}) = Var\left(\sigma^{2}*\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right) = \sigma^{4}*Var\left(\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right)[/mm]
>
> ... Und die Größe in der Varianz ist Chi - Quadrat -
> verteilt (1 Freiheitsgrad), hat also Varianz 2.
>
>
Hab deinen Eintrag erst jetzt entdeckt. Sauber, Stefan. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mo 22.02.2010 | | Autor: | hagen85 |
Hallo,
ist die größe auch chiquadrat-verteilt wenn statt dem Mü ein X-Quer dort stehen würde? Der Erwartungswert von X-Quer ist ja Mü. Dann würde die Summe aber nur bis n-1 gehen oder?
VG Hagen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Mo 22.02.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
> ist die größe auch chiquadrat-verteilt wenn statt dem Mü
> ein X-Quer dort stehen würde? Der Erwartungswert von
> X-Quer ist ja Mü. Dann würde die Summe aber nur bis n-1
> gehen oder?
Moin Hagen,
[mm] $\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 [/mm] $ ist [mm] $\chi^2(n-1)$-verteilt...
[/mm]
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mo 22.02.2010 | | Autor: | luis52 |
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier, Punkt 15.
Danke tobit09 fuer die Korrektur.
vg Luis
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:42 Mo 22.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
die Formel für die Varianz einer quadratisch integrierbaren Zufallsgröße X lautet [mm] $\operatorname{Var}X=E(X^2)-(EX)^2$. [/mm] Also müssen die beiden + durch - ersetzt werden.
Viele Grüße
Tobias
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