Varianz von Stichproben < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:30 So 24.05.2009 | | Autor: | Heliodromus |
| Aufgabe | | Gegeben sei eine Population der Größe k, wobei jedes Individuum ein Merkmal trägt. Sei X das Merkmal eines zufällig gezogenen Individuums und [mm] \sigma^{2} [/mm] dessen Varianz. Seien [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] Indiviuuen einer Stichprobe der Größe n, ermittelt durch ziehen ohne zurücklegen. Bestimme mit Hilfe von n,k und [mm] \sigma^{2} [/mm] die Varianz von [mm] X_{1}+...+X_{n} [/mm] |
Grüß Gott,
ich glaube ich steh gerade mit dieser Aufgabe ein Wenig auf dem Schlauch.
Meine Idee: Die Formel auszunutzen Varianz einer Summe = Summe der Varianzen + 2 * deren Cov....
[mm] Var((X_{1} [/mm] + ... + [mm] X_{n}) [/mm] / n) = [mm] 1/n^{2} [/mm] * [mm] Var(X_{1} [/mm] + ... + [mm] X_{n})
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n} Var(X_{i}) [/mm] + [mm] 2*\summe_{i=1}^{n-1} \summe_{j=i}^{n}Cov(X_{i},X_{j})
[/mm]
Nur irgendwie kam ich hier auch nicht weiter...eventuell hab ich zu viel Sonne abgekricht :D
Dann dachte ich okay, das ist doch lediglich nur Hypergeom. verteilt...aber wie drücke ich dann die neue Varianz mit Hilfe von [mm] \sigma^{2} [/mm] aus....
Wie kann ich nun die Varianz der Stichprobe (am einfachsten) bestimmen?
Ich muss mich wohl schon jetzt für diese dämliche Frage entschuldigen....
Var : = Varianz
Cov : = CoVarianz
Edit:
Ich find die Lösung davon wirklich schön....sehr elegant wie ich fand.
Erstmal als vorbemerkung: Die Stichproben sind nicht voneinander unabhängig.
Seien [mm] X_{1}+...+X_{g} [/mm] Merkmale der Population und X das Zufällige Merkmal eines Individuums.
Zunächst ermitteln wir die Covarianz der Kompletten Population
[mm] Var[X_{1}+...+X_{g}] [/mm] = 0 (Klar wenn wir die Komplette Population ein reelwertiges (müssen wir in diesem Fall annehmen sonst klappt es nicht zwangsläufig) Merkmal zuordnen dann muss die Varianz 0 sein da die Summe nicht schwankt)
[mm] \gdw\summe_{i=1}^{g}Var[X_{i}]+2*\summe_{i=1}^{g-1} \summe_{j=i}^{g}Cov(X_{i},X_{j})
[/mm]
[mm] \gdw g*\sigma^{2}+2*\vektor{g \\ 2}*Cov(X_{i},X{j}) [/mm] ( = 0)(g über 2 beschreibt alle möglichen Paare [mm] X_{i},X_{j}: [/mm] Durch einsetzen können wir dies auflösen)
[mm] \gdw g*\sigma^{2} [/mm] + g(g-1) [mm] *Cov(X_{i},X{j}) [/mm] ( = 0)
[mm] \gdw Cov(X_{i},X{j}) [/mm] = [mm] -\bruch{\sigma^{2}}{g-1}
[/mm]
(Bislang haben wir lediglich die Linearität des Erwartungswertes ausgenutzt)
Jetzt können wir die Hauptfrage klären:
[mm] Var((X_{1} [/mm] + ... + [mm] X_{n}) [/mm] = [mm] n*\sigma^{2} [/mm] + [mm] 2*\vektor{n \\ 2}(-\bruch{\sigma^{2}}{g-1})
[/mm]
= [mm] n*\sigma^{2} [/mm] - [mm] n*(n-1)(\bruch{\sigma^{2}}{g-1})
[/mm]
= [mm] n*\sigma^{2} (1-\bruch{n-1}{g-1})
[/mm]
Das ist Stochastik unglaublich^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Mo 25.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Heliodromus,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich muss gestehen, dass ich etwas Schwierigkeiten mit der Aufgabenstellung habe. Es steht da:
Seien $ [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] $ Indiviuuen einer Stichprobe der Größe n, ermittelt durch ziehen ohne zurücklegen.
Das ist widerspruechlich. Angenommen die Population sind $k_$ Kugeln in einer Urne, deren Merkmale Zahlen [mm] $N_1,\ldots,N_k$ [/mm] sind. Werden $n_$ Kugeln *ohne* Zuruecklegen gezogen, so sind die Variablen [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] keine Stichprobe, da sie nicht unabhaengig sind.
vg Luis
|
|
|
| |
|
Hi,
zunächst mal: Danke für die netten Worte :)
"Stichprobe ohne Zurücklegen" das ist für mich eine Hypeergeom. Verteilung. Daher hab ich auch einige Schwierigkeiten hier den richtigen Weg zu finden...
Oder man formuliert die Fragestellung vielleicht um und erhält dann: "Wenn jede Zufallsvariable Hypergeom verteilt ist und die Varianz dieser ZV gegeben, wie ist dann die Varianz der Summe der ZVs für n Zufallsvariablen"
Ob das so richtig ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mo 25.05.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ob das so richtig ist?
Ich fuerchte nein. Ich formuliere mal die Aufgabe so um, wie sie fuer mich Sinn macht und wofuer ich ein Paar Tipps geben koennte.
Gegeben sei eine Population der Größe $k_$, wobei jedes Individuum ein Merkmal [mm] $N_i\in\IR$ [/mm] trägt. Sei $X_$ das Merkmal eines zufällig gezogenen Individuums und $ [mm] \sigma^{2} [/mm] $ dessen Varianz. Aus der Population werden $n_$ Individuen o.Z. gezogen und $ [mm] X_{1},...,X_{n}$ [/mm] bezeichne deren Merkmale. Bestimme mit Hilfe von $n,k_$ und $ [mm] \sigma^{2} [/mm] $ die Varianz von $ [mm] X_{1}+...+X_{n} [/mm] $.
Moegliche Tipps:
1) Bestimme die Verteilung von [mm] $X_i$, $i=1,\dots,n$. [/mm] (Beachte, dass [mm] $X_i$ [/mm] i.a. *keine* hypergeometrische Verteilung hat, da diese vielleicht auch den Wert [mm] \pi [/mm] annehmen kann.)
2) Bestimme [mm] $\sigma_i^2=\operatorname{Var}[X_i]$. [/mm] (Es ist [mm] $\sigma^2$.)
[/mm]
3) Bestimme die Verteilung von [mm] $(X_i,X_j)$, $i,j=1,\dots,n$, $\i\ne [/mm] j$.
4) Bestimme [mm] $\operatorname{Cov}[X_i,X_j]=\operatorname{E}[X_iX_j]-\operatorname{E}[X_i]\operatorname{E}[X_j]$.
[/mm]
5) Bestimme
[mm] $$\operatorname{Var}[X_1+\dots+X_n]=\sum_{i=1}^n\operatorname{Var}[X_i]-2\sum\sum_{i
(Die Formel in deinem ersten Posting gilt fuer [mm] $\bar [/mm] X$).
vg Luis
|
|
|
| |
|
Okay Danke dir....
Da kann man euch Mathematiker nur bewundern...mit welch einer Lockerheit man solche Aufgaben angehen kann....Ich wär schon froh wenn ich endlich diesen letzten Schein aus der Mathematik (ElStoch) mitnehmen könnte^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Do 28.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Heliodromus!
Bitte nicht unkommentiert ein bereits beantwortete Frage auf "unbeantwortet" verstellen.
Wenn noch etwas unklar sein seollte, stelle entsprechende konkrete Fragen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Sorry beim editieren passiert. Shit happens ;)
|
|
|
|
