Varianz glm. diskr. Verteil < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:17 Fr 04.07.2008 | | Autor: | wolfe |
| Aufgabe | Die Zufallsvariable X besitze den Wertebereich W = [mm] \{1,...,m\}, [/mm] wobei alle Werte gleichwahrscheinlich sind.
X sei also auf W gleichmäßig verteilt.
Gilt nun Var(X) = [mm] \frac{m^2-1}{12} [/mm] |
Hallo.
Ich finde die Varianz merkwürdig.
Eigentlich gilt doch die Dichte [mm] \frac{1}{b-a} [/mm] und die Varianz [mm] \frac{(b-a)^2}{12}
[/mm]
Ist die Varianz aus der Frage (im diskreten) richtig? Die Varianz des zweiten ist ja im Fall der Stetigkeit.
Weil der Erwartungswert im Stetigkeitsfalle [mm] \frac{a+b}{2} [/mm] ist und mit dem Erwartungswert im diskreten Fall [mm] \frac{m+1}{2} [/mm] beträgt. Da passt es ja, wenn man die Werte einsetzt.
Deswegen habe ich so die Vermutung eines Tippfehlers in der Varianz
Var(X) = [mm] \frac{m^2-1}{12}
[/mm]
Oder ist dies doch richtig?
Danke schonma
wolfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Fr 04.07.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo wolfe,
> Die Zufallsvariable X besitze den Wertebereich W =
> [mm]\{1,...,m\},[/mm] wobei alle Werte gleichwahrscheinlich sind.
> X sei also auf W gleichmäßig verteilt.
> Gilt nun Var(X) = [mm]\frac{m^2-1}{12}[/mm]
> Hallo.
> Ich finde die Varianz merkwürdig.
>
> Eigentlich gilt doch die Dichte [mm]\frac{1}{b-a}[/mm] und die
eine Dichte existiert nur bei stetigen ZV.
> Varianz [mm]\frac{(b-a)^2}{12}[/mm]
>
> Ist die Varianz aus der Frage (im diskreten) richtig? Die
> Varianz des zweiten ist ja im Fall der Stetigkeit.
>
> Weil der Erwartungswert im Stetigkeitsfalle [mm]\frac{a+b}{2}[/mm]
> ist und mit dem Erwartungswert im diskreten Fall
> [mm]\frac{m+1}{2}[/mm] beträgt. Da passt es ja, wenn man die Werte
> einsetzt.
> Deswegen habe ich so die Vermutung eines Tippfehlers in
> der Varianz
> Var(X) = [mm]\frac{m^2-1}{12}[/mm]
> Oder ist dies doch richtig?
Die angegebene Varianz ist korrekt.
Rechne selbst nach:
$Var(X) = [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] E^2(X) [/mm] = [mm] \frac{1}{m} \summe_{k=1}^m k^2 [/mm] - [mm] \left(\frac{1}{m} \summe_{k=1}^m k \right)^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{m} [/mm] * [mm] \frac{m * (m+1) * (2m+1)}{6} [/mm] - [mm] \frac{1}{m^2} [/mm] * [mm] \left(\frac{m * (m+1)}{2}\right)^2 [/mm] = [mm] \frac{m^2-1}{12}.$
[/mm]
LG
Will
>
> Danke schonma
> wolfe
|
|
|
|
