Varianz der Summe < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine faire Münze wird n-mal geworfen. Sei [mm] X_i \in \{ K,Z \} [/mm] der i-te Wurf und [mm] Y_i [/mm] := [mm] 1_{\{ X_i=X_{i+1}=K \}} [/mm] .
Bestimme [mm] var(\summe_{i=1}^{n-1} Y_i [/mm] )! |
Meine Versuche:
[mm] Y_i [/mm] = 1 mit W.keit [mm] \bruch{1}{4} [/mm] (2mal wird Kopf geworfen)
[mm] Y_i=0 [/mm] mit W.keit [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] E(Y_i)=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] cov(Y_i,Y_j)=E((Y_i-E(Y_i))*(Y_j-E(Y_j)))=E(Yi)*E(Y_j)-E(Y_i)*E(Y_j)-E(Y_i)*E(Y_j)+E(Y_i)*E(Y_j)=0
[/mm]
Dann ist
[mm] var(Y_i)=E(Y_i^2)-(E(Y_i))^2=\bruch{1}{4}-\bruch{1}{16}=\bruch{3}{16}
[/mm]
also
var( [mm] \summe_{i=1}^{n-1} Y_i)=(n-1)*\bruch{3}{16}
[/mm]
Stimmt das?
Wenn aber bspweise [mm] Y_i [/mm] bekannt ist, dann ist doch [mm] Y_{i+1} [/mm] abhängig von dieser Zufallsvariable. Dann dürfte aber die Kovarianz nicht null sein, oder?
Kann vlt. jmd. helfen? Was ist falsch an der Berechnung der Kovarianz?
Grüsse
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Hiho,
zwei Dinge, die generelle vielleicht zuerst:
> Wenn aber bspweise [mm]Y_i[/mm] bekannt ist, dann ist doch [mm]Y_{i+1}[/mm]
> abhängig von dieser Zufallsvariable. Dann dürfte aber die
> Kovarianz nicht null sein, oder?
Warum nicht? Nur weil die Kovarianz Null ist, heißt das nicht, dass die ZVen gleich unabhängig sind.
Sie sind dann unkorreliert, aber nicht notwendigerweise unabhängig (da gibts auch schöne Beispiele für).
Desweiteren ist deine Vorstellung von "Unabhängigkeit" so auch nicht immer ganz korrekt. Nur weil eine ZVen in der anderen vorkommt, kann es sein, dass sie trotzdem unabhängig sind. Die Vorstellung entspricht eben nicht immer ganz der mathematischen Realität 
Nun zum konkreten Problem:
> Was ist falsch an der Berechnung der Kovarianz?
Deine Umformungen.
> [mm]cov(Y_i,Y_j)=E((Y_i-E(Y_i))*(Y_j-E(Y_j)))=E(Yi)*E(Y_j)-E(Y_i)*E(Y_j)-E(Y_i)*E(Y_j)+E(Y_i)*E(Y_j)=0[/mm]
Schau dir dein zweites Gleichheitszeichen nochmal an, dort setzt du die Unkorreliertheit bereits voraus. Forme schrittweise um und du wirst erkennen, warum. (Und wenn du es voraussetzt, kommt als Ergebnis logischerweise Null heraus ^^)
MFG,
Gono.
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Danke dir, gut zu wissen.
[mm] E((Y_i-E(Y_i))*(Y_j-E(Y_j)))=E(Y_i*Y_j-Y_i*E(Y_j)-Y_j*E(Y_i)+E(Y_i)*E(Y_j))=E(Y_i*Y_j-\bruch{1}{4}*(E(Y_j)+E(Y_i))+E(Y_i)*E(Y_j))=E(Y_i*Y_j)-\bruch{1}{4}*\bruch{1}{2}+\bruch{1}{16} [/mm] = (*)
[mm] E(Y_i*Y_j) [/mm] ergibt bei mir wieder [mm] \bruch{1}{16} [/mm] und dann (*) also =0
Ist das wirklich richtig so? Ist oben mein Resultat dann tatsächlich richtig?
Grüsse
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Hiho,
> [mm]E((Y_i-E(Y_i))*(Y_j-E(Y_j)))=E(Y_i*Y_j-Y_i*E(Y_j)-Y_j*E(Y_i)+E(Y_i)*E(Y_j))=E(Y_i*Y_j-\bruch{1}{4}*(E(Y_j)+E(Y_i))+E(Y_i)*E(Y_j))=E(Y_i*Y_j)-\bruch{1}{4}*\bruch{1}{2}+\bruch{1}{16}[/mm]
> = (*)
Dein drittes Gleichheitszeichen ist falsch, macht aber erstmal nix.
Zusammengefasst:
[mm] $E\left[(Y_i - E[Y_i])(Y_j - E[Y_j])\right] [/mm] = [mm] E[Y_iY_j] [/mm] - [mm] E[Y_i]E[Y_j] [/mm] - [mm] E[Y_j]E[Y_i] [/mm] + [mm] E[Y_i]E[Y_j] [/mm] = [mm] E[Y_iY_j] [/mm] - [mm] E[Y_i]E[Y_j] [/mm] = [mm] E[Y_iY_j] [/mm] - [mm] \bruch{1}{16}$
[/mm]
Was natürlich nicht das ist, was bei dir steht, aber zu deinem Problem:
> [mm]E(Y_i*Y_j)[/mm] ergibt bei mir wieder [mm]\bruch{1}{16}[/mm] und dann (*) also =0
Na das rechnen wir dann doch mal gegen:
[mm] $Y_i*Y_j [/mm] = [mm] 1_{\{X_i=X_{i+1}=K\}}*1_{\{X_j=X_{j+1}=K\}} [/mm] = [mm] 1_{\{X_i=X_{i+1}=X_{j}=X_{j+1}=K\}}$
[/mm]
Und nun rechne den Spaß nochmal durch.
Man erkennt sofort, dass es drei Fälle gibt:
1.) j=i
2.) j=i+1
3.) j>i+1
Für alle drei kommt da was verschiedenes raus vermute ich mal
MFG,
Gono.
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