Varianz der Stichprobenvarianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] X_i\sim P(\lambda) [/mm] für alle i. Berechnen Sie die Varianz des Schätzers [mm] S_n^2 [/mm] für n=2.
[mm] S_n^2=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n(X_i-\overline{X_n})^2
[/mm]
[mm] \overline{X_n}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n(X_i) [/mm] |
Ich erhalte
[mm] S_2^2=\bruch{1}{4}(X_1-X_2)^2
[/mm]
Was ist der einfachste Weg davon die Varianz auszurechnen?
Ich hab versucht umzuformen:
[mm] S_2^2=\bruch{1}{2}(Var(X_1^2)-Var(X_1*X_2)) [/mm] (da die Varianzen von [mm] X_1^2 [/mm] und [mm] X_2^2 [/mm] gleich sind.
Den ersten Teil hab ich mal mit Mathematica ausgerechnet (würd notfalls händisch auch gehn): [mm] \lambda [/mm] + 6 [mm] \lambda^2 [/mm] + 4 [mm] \lambda^3.
[/mm]
Beim zweiten müsste ich wieder die gemeinsame Verteilung zweier Poisson-Verteilungen kennen und davon die Varianz bestimmen. Das kommt mir alles sehr komisch vor.
Ist das der richtige Weg oder gehts auch einfacher?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mi 14.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ich erhalte
>
> [mm]S_2^2=\bruch{1}{4}(X_1-X_2)^2[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was ist der einfachste Weg davon die Varianz auszurechnen?
>
> Ich hab versucht umzuformen:
>
> [mm]S_2^2=\bruch{1}{2}(Var(X_1^2)-Var(X_1*X_2))[/mm] (da die
> Varianzen von [mm]X_1^2[/mm] und [mm]X_2^2[/mm] gleich sind.
Was ist denn das fuer eine komische Formel? Kenne ich nicht.
Du kommst nicht auf die Beine ohne die Annahme, dass [mm] $X_1,X_2$ [/mm] unabhaengig sind.
Kennst du die alte Bauernregel [mm] $\mbox{Var}[U]=\mbox{E}[U^2]-\mbox{E}^2[U]$ [/mm] fuer eine Zufallsvariable $U$?
lg Luis
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 22:10 Mi 14.11.2007 | | Autor: | chimneytop |
[mm] S_2^2=\bruch{1}{4}(X_1+X_2)^2
[/mm]
Ausmultiplizieren ergibt
[mm] \bruch{1}{4}(X_1^2+2*X_1*X_2+X_2^2)
[/mm]
Davon die Varianz ist die Formel in vorigem Posting (ich hab versehentlich [mm] S_2^2 [/mm] statt [mm] Var(S_2^2) [/mm] geschrieben. Dann hab ich nach der Formel [mm] Var[X]=E[X^2]+E[X]^2 [/mm] den ersten Term ausgerechnet. Beim Teil Var(X1*X2) häng ich allerdings.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mi 14.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> $ [mm] S_2^2=\bruch{1}{4}(X_1+X_2)^2 [/mm] $
Wieso denn das auf einmal? Ich denke
$ [mm] S_2^2=\bruch{1}{4}(X_1-X_2)^2 [/mm] $
>Ausmultiplizieren ergibt
>$ [mm] \bruch{1}{4}(X_1^2+2\cdot{}X_1\cdot{}X_2+X_2^2) [/mm] $
und folglich $ [mm] \bruch{1}{4}(X_1^2-2\cdot{}X_1\cdot{}X_2+X_2^2) [/mm] $
Nenne [mm] $U=\bruch{1}{4}(X_1^2-2\cdot{}X_1\cdot{}X_2+X_2^2) [/mm] $
und berechne [mm] $\mbox{E}[U^2)]-\mbox{E}^2[U]$. [/mm] Dann brauchst du auch
nicht mit der ominoesen [mm] $\mbox{Var}[X_1X_2]$ [/mm] zu rechnen.
lg luis
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 23:27 Mi 14.11.2007 | | Autor: | chimneytop |
Ok, Denkfehler, bei Unabhängigkeit ist natürlich E(X*Y)=E(X)*E(Y).
Dann erhalte ich ziemlich schnell:
[mm] E(S_2^2)=\bruch{1}{4}*E(X_1-X_2)^2
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*E(X_1-X_2)*E(X_1-X_2)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*(E(X_1)-E(X_2))*(E(X_1)-E(X_2))
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*(\lambda-\lambda)*(\lambda-\lambda)
[/mm]
=0.
Analog für [mm] E(S_2^2)^2=\bruch{1}{16}*E(X_1-X_2)^4=0.
[/mm]
Folglich wäre [mm] Var[S_2^2]=0.
[/mm]
Ist das richtig?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Do 15.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> $ [mm] E(S_2^2)=\bruch{1}{4}\cdot{}E(X_1-X_2)^2 [/mm] $
> $ [mm] =\bruch{1}{4}\cdot{}E(X_1-X_2)\cdot{}E(X_1-X_2) [/mm] $
> $ [mm] =\bruch{1}{4}\cdot{}(E(X_1)-E(X_2))\cdot{}(E(X_1)-E(X_2)) [/mm] $
?$ [mm] =\bruch{1}{4}\cdot{}(\lambda-\lambda)\cdot{}(\lambda-\lambda) [/mm] $
> =0.
> Analog für $ [mm] E(S_2^2)^2=\bruch{1}{16}\cdot{}E(X_1-X_2)^4=0. [/mm] $
> Folglich wäre $ [mm] Var[S_2^2]=0. [/mm] $
> Ist das richtig?
Offensichtlich nicht, das [mm] $S^2>0$. [/mm] Du kannst nicht unterstellen
> $ [mm] E(S_2^2)=\bruch{1}{4}\cdot{}E(X_1-X_2)^2 [/mm] $
> $ [mm] =\bruch{1}{4}\cdot{}E(X_1-X_2)\cdot{}E(X_1-X_2) [/mm] $
etwa indem [mm] $X_1-X_2$ [/mm] und [mm] $X_1-X_2$ [/mm] unabhaengig sind. Multipliziere stattdessen
[mm] $(X_1-X_2)^2 [/mm] $ aus und bilde dann den Erwartungswert. Analog fuer
[mm] $(X_1-X_2)^4$.
[/mm]
lg Luis
PS: Koenntest du bitte deine Folgebeitraege als Mitteilungen oder als
Fragen formulieren (nicht als Korrekturmitteilung). Das wuerde die Korrespondenz
erheblich erleichtern. Danke.
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