Varianz < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Do 30.06.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Mal eine Frage zu einer Eigenschaft der Varianz; es gilt ja:
Var(aX+b)=a^2Var(X)
Soweit, so gut.
Nun habe ich eine Aufgabe, bei der [mm] X_i [/mm] unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen sind und [mm] M=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i [/mm] der Mittelwert dieser Zufallsvariablen.
Gilt:
[mm] Var(X_i-M)=Var(X_i), [/mm] i=1,...,n
?? |
..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Do 30.06.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Gilt:
>
> [mm]Var(X_i-M)=Var(X_i),[/mm] i=1,...,n
>
Nein. Betrachte
[mm] $\text{Var}\left[X_i-\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j\right]=\text{Var}\left[(1-\frac{1}{n})X_i-\frac{1}{n}\sum_{j\ne i}^{n}X_j\right] [/mm] $ ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 30.06.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich soll nämlich
[mm] E(\sum_{i=1}^{n}(X_i-M)^2) [/mm] berechnen und weiß dann nicht so wirklich, wie ichs machen kann.
Erstmal vielleicht die einzelnen Summanden aufschreiben??
= [mm] E[(X_1-M)^2]+...+E[(X_n-M)^2] [/mm] ??
Und das ist doch jetzt das Gleiche wie
= [mm] Var(X_1-M)+E(X_1-M)^2+...+Var(X_n-M)+E(X_n-M)^2
[/mm]
Okay? Und wie gehts weiter? [Falls es bis hier stimmt...]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Do 30.06.2011 | | Autor: | luis52 |
In meinem Lieblings-Statistikbuch
@BOOK{Mood74,
title = {Introduction to the Theory of Statistics},
publisher = {Mc-Graw-Hill},
year = {1974},
author = {A. M. Mood and F. A. Graybill and D. C. Boes},
edition = {3.}
}
finde ich auf Seite 239-240 die folgenden Tipps. Sei [mm] $\mu=\text{E}[X_i]$ [/mm] und [mm] $\sigma^2=\text{Var}[X_i]$:
[/mm]
1) [mm] $\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-M)^2+n (M-\mu)^2$
[/mm]
2) [mm] $\text{E}[\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-M)^2]=\sigma^2$.
[/mm]
vg Luis
PS: Es waere schoen, wenn du kuenftig die eigentliche Fragestellung nicht in homoeopathischen Dosen mitteilst:
> Ich soll nämlich [mm]E(\sum_{i=1}^{n}(X_i-M)^2)[/mm] berechnen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Fr 01.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Hallo, ich nochmal.
Da hat jemand die gleiche Aufgabe wie ich zu bearbeiten (nur noch zusätzlich ist dort gegeben, dass [mm] E(X_i)=0 [/mm] und [mm] Var(X_i)=v)
[/mm]
Ich weiß, ihr seht es nicht so gerne, wenn man hier Links zu anderen Foren gibt, aber die Rechnung dort ist so ellenlang, dass ich das nicht alles hier aufschreiben möchte.
Ich meine da den vorletzten Beitrag.
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1431626#post1431626
Stimmt die Rechnung dort?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Fr 01.07.2011 | | Autor: | luis52 |
>
> Stimmt die Rechnung dort?
Nein.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Fr 01.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Okay, die ersten Zeilen sehen für mich aber ganz plausibel aus, wo ist dort der Fehler?
Bzw. ab wo wird es dort falsch?
Bis zu diesem Punkt erscheint es mir korrekt:
[mm]=n\cdot \left[v-\frac{2}{n}\cdot E\left(X_i\cdot \sum_{i=1}^{n}X_i\right)+\frac{1}{n^2}\cdot E\left(\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2\right)\right][/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Fr 01.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Nach Deinem Tipp oben muss ja herauskommen:
[mm]v\cdot (n-1)[/mm].
Ich habe dem Fragesteller, dessen Link ich eben gegeben habe, das gesagt und er hat das jetzt auch heraus!
Ist die Rechnung jetzt korrekt?
Siehe letzter Beitrag:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1431699#post1431699
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Fr 01.07.2011 | | Autor: | mikexx |
In dem Forum hat schon jemand gesagt, dass die Rechnung jetzt stimmt.
Damit hat sich meine letzte Frage eigentlich erledigt.
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