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Wenn man die beobachteten Werte hat, berechnet man die Varianz ja mit:
[mm] s^{2}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2} [/mm] bzw. nach ein paar Umformungen mit: [mm] s^{2}=\overline{x^{2}}-\overline{x}^{2}
[/mm]
Gibt es so etwas (also eine Formel für die Varianz bei gegebenen Häufigkeitsverteilungen ohne Summenzeichen) auch die Varianz bei Häufigkeitsverteilungen
Ich hab da schon mal ein bisschen probiert, bin mir aber nicht so ganz sicher bzw. komm am Schluss nicht weiter:
[mm] s^{2}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}*h_{i}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}*h_{i}-2\overline{x}x_{i}h_{i}+\overline{x}^{2}h_{i})=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}*h_{i}) [/mm] - [mm] \bruch{2\overline{x}}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}h_{i}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(\overline{x}^{2}h_{i})=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}*h_{i}) [/mm] - [mm] 2\overline{x}^{2} [/mm] + [mm] \overline{x}^{2}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}*h_{i}) [/mm] - [mm] \overline{x}^{2}=
[/mm]
Wird jetzt aus dem [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}*h_{i}) [/mm] wieder ein [mm] \overline{x^{2}}? [/mm]
Wenn ja, wie?
oder spielt das [mm] h_{i} [/mm] keine Rolle mehr?
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> Wenn man die beobachteten Werte hat, berechnet man die
> Varianz ja mit:
> [mm]s^{2}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}[/mm]
> bzw. nach ein paar Umformungen mit:
> [mm]s^{2}=\overline{x^{2}}-\overline{x}^{2}[/mm]
>
> Gibt es so etwas (also eine Formel für die Varianz bei
> gegebenen Häufigkeitsverteilungen ohne Summenzeichen) auch
> die Varianz bei Häufigkeitsverteilungen
> Ich hab da schon mal ein bisschen probiert, bin mir aber
> nicht so ganz sicher bzw. komm am Schluss nicht weiter:
>
> $ [mm] s^{2}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\cdot{}h_{i}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}\cdot{}h_{i}-2\overline{x}x_{i}h_{i}+\overline{x}^{2}h_{i})=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}\cdot{}h_{i}) [/mm] $
> - $ [mm] \bruch{2\overline{x}}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}h_{i}) [/mm] $ +
> $ [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(\overline{x}^{2}h_{i})=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}\cdot{}h_{i}) [/mm] $
> - $ [mm] 2\overline{x}^{2} [/mm] $ +
> $ [mm] \overline{x}^{2}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}\cdot{}h_{i}) [/mm] $
> - $ [mm] \overline{x}^{2}= [/mm] $
Da die [mm] h_i [/mm] die relativen Häufigkeiten angeben, musst du den Faktor [mm] \bruch{1}{n} [/mm] weglassen. Dieser Fehler hebt sich bei dir aber wieder auf.
Somit:
[mm] s^{2}=\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\cdot{}h_{i}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}\cdot{}h_{i}-2\overline{x}x_{i}h_{i}+\overline{x}^{2}h_{i})
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}\cdot{}h_{i}) [/mm] - [mm] 2\overline{x}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}h_{i}) [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n}(\overline{x}^{2}h_{i})
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}\cdot{}h_{i}) [/mm] - [mm] 2\overline{x}^{2} [/mm] + [mm] \overline{x}^{2}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}\cdot{}h_{i}) [/mm] - [mm] \overline{x}^{2}
[/mm]
[mm] =\overline{x^{2}}-\overline{x}^{2}
[/mm]
>
> Wird jetzt aus dem
> [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}*h_{i})[/mm] wieder ein
> [mm]\overline{x^{2}}?[/mm]
> Wenn ja, wie?
> oder spielt das [mm]h_{i}[/mm] keine Rolle mehr?
Ja, genau richtig. Und die [mm] \overline{x^{2}} [/mm] sehen - ebenso wie die [mm] \overline{x} [/mm] - von Verteilung zu Verteilung verschieden aus.
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