Vandermondesche Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Do 02.06.2005 | | Autor: | NECO |
Halla lieber Mathematiker/ in
Ich ,muss die Vandormenische determinante beweisen. Geht es auch ohne Induktion? Wenn nicht dann möchte ich wissen wie ich hier weiter machen soll.
Es seien [mm] a_{1},......a_{n} [/mm] reele Zahlen. Beweisen Sie folgende Formel.
[mm] det\pmat{ 1 & 1 & . & . & . & .& 1 \\ a_{1} & a_{2}& .&. & . & . & a_{n} \\a_{1}^{2} & a_{2}^{2}& .& . & & .& a_{n}^{2}\\ .& . & & & & & \\ .& .& & & & & \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1}& .& . & . & .& a_{n}^{n-1}}= \produkt_{n \ge i>j\ge1} (a_{i}-a_{j})
[/mm]
Erstamal möchte ich wissen ob man es ohne Induktion beweisen kann. Wenn nicht dann möchte ich mit Induktion beweisen. Ich habe versuvcht zu beweisen.
n=1 Klar!
n>1
Dann habe ich von der n-ten Zeile das [mm] a_{1}-fache [/mm] der (n-1)-ten Zeile uzw. bis schließlich von der 2. Zeile das [mm] a_{1}-fache [/mm] der 1.Zeile subtrahiert.
Dann habe ich so was raus
[mm] \pmat{ 1 & 1 & . & . & . & .& 1 \\ 0 & a_{2}-a_{1}& .&. & . & . & a_{n}-a_{1} \\ 0 & a_{2}(a_{2}-a_{1})& .& . & & .& a_{n}(a_{n}-a_{1})\\ .& . & & & & & \\ .& .& & & & & \\ 0 & a_{2}^{n-2}(a_{2}-a_{1})& .& . & . & .& a_{2}^{n-2}(a_{n}-a_{1})}.
[/mm]
So was soll oder kann ich nich machen. Ich habe in den Scripten oder Büchern nicht soviel verstanden. Wie kann man weiter hier? danke ich muss es bis heute Abend bewiesen bekommen.  Danke für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Do 02.06.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Neco!
Du hast es fast geschafft. Du musst dir nun die [anhand der Leibnizschen Determinantenformel leicht nachvollziehbare] Homogenität der Determinantenfunktion in jeder Spalte zu Nutze machen. In der 2. Spalte hast du konstant den Faktor [mm] $(a_2-a_1)$, [/mm] in der 3. den Faktor [mm] $(a_3-a_1)$, [/mm] ..., in der n-ten den Faktor [mm] $(a_n-a_1)$. [/mm] Alle diese Faktoren kannst du vor die Determinante ziehen. Was übrig bleibt ist die Vandermondesche Determinante der um 1 verringerten Ordnung; du kannst also die Induktionsvoraussetzung auf die Determinante anwenden und erhältst sofort das gewünschte Resultat.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Do 02.06.2005 | | Autor: | NECO |
Danke. Ich komme auch leider mit dieser Induktion bei sowas nicht so klar.
Ich habe gesagt n=1 ist klar.
kannst du bitte den rest hin schreiben. Danke. Ich komme zurzeit mit Induktion be sowas nicht klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Do 02.06.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Neco!
Was ich mit meiner ersten Antwort erklären wollte, ist folgender Schritt:
$det [mm] \pmat{ 1 & 1 & . & . & . & .& 1 \\ 0 & a_{2}-a_{1}& .&. & . & . & a_{n}-a_{1} \\ 0 & a_{2}(a_{2}-a_{1})& .& . & & .& a_{n}(a_{n}-a_{1})\\ .& . & & & & & \\ .& .& & & & & \\ 0 & a_{n}^{n-2}(a_{2}-a_{1})& .& . & . & .& a_{2}^{n-2}(a_{n}-a_{1})} [/mm] = [mm] \pmat{ a_{2}-a_{1}& .&. & . & . & a_{n}-a_{1} \\ a_{2}(a_{2}-a_{1})& .& . & & .& a_{n}(a_{n}-a_{1})\\ . & & & & & \\ .& .& & & & & \\ a_{n}^{n-2}(a_{2}-a_{1})& .& . & . & .& a_{2}^{n-2}(a_{n}-a_{1})} [/mm] = [mm] (a_2-a_1)(a_3-a_1)\cdots (a_n-a_1)\cdot \pmat{ 1& .&. & . & . & 1 \\ a_{2}& .& . & & .& a_{n}\\ . & & & & & \\ .& & & & & \\ a_{2}^{n-2}& .& . & . & .& a_{n}^{n-2}}. [/mm] $
Schaffst du es nun alleine, hier anzuknüpfen? Bedenke, dass die verbleibende Determinante genau diejenige ist, auf die du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Do 02.06.2005 | | Autor: | NECO |
Danke Hanno. Wie ich sagte ich kann mit induktion nich so gut umgehen.
Kannst du bitte weiter machen. ?
Danke für die Mühe. DU bist aber schnell.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Do 02.06.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Neco!
Ausnahmsweise, auch wenn ich nicht nachvollziehen kann, womit du nun noch Probleme hast.
Ich war bis hier gekommen:
$ [mm] (a_2-a_1)(a_3-a_1)\cdots (a_n-a_1)\cdot [/mm] det [mm] \pmat{ 1& .&. & . & . & 1 \\ a_{2}& .& . & & .& a_{n}\\ . & & & & & \\ .& & & & & \\ a_{2}^{n-2}& .& . & . & .& a_{n}^{n-2}}. [/mm] $
Nach Induktion gilt nun
$det [mm] \pmat{ 1& .&. & . & . & 1 \\ a_{2}& .& . & & .& a_{n}\\ . & & & & & \\ .& & & & & \\ a_{2}^{n-2}& .& . & . & .& a_{n}^{n-2}}=\produkt_{2\leq i
$ [mm] (a_2-a_1)(a_3-a_1)\cdots (a_n-a_1)\cdot [/mm] det [mm] \pmat{ 1& .&. & . & . & 1 \\ a_{2}& .& . & & .& a_{n}\\ . & & & & & \\ .& & & & & \\ a_{2}^{n-2}& .& . & . & .& a_{n}^{n-2}}= (a_2-a_1)(a_3-a_1)\cdots (a_n-a_1)\cdot \produkt_{2\leq i
Damit ist alles gezeigt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Do 02.06.2005 | | Autor: | NECO |
Danke dir Hanno. Ich bin gerade mit Endliche Körpern. oberkörpern
Polynomringe also mit Algebra beschäftigt. Ich danke dir für deine Mühe für alles.
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