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| Aufgabe | | Seien [mm] c_0, [/mm] ..., [mm] c_n \in [/mm] K, nicht alle =0. Dann hat das Polynom [mm] c_0 [/mm] + [mm] c_1 \alpha [/mm] + ... + [mm] c_n \alpha^{n} [/mm] höchstens n Nullstellen in K. |
Hallo!
Ich will das zeigen indem ich annehme, dass ich n+1 Nullstellen habe und möchte das zum Wiederspruch führen.
Ich bilde dazu die Martix [mm] \pmat{ c_o + c_1 \alpha _1 + ... + c_n \alpha _{1}^{n} & \\ ... & \\ c_o + c_1 \alpha_{n+1} + ... + c_n \alpha_{n+1}^{n} & } [/mm] =0. Wie komme ich dann weiter?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
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> Seien [mm]c_0,[/mm] ..., [mm]c_n \in[/mm] K, nicht alle =0. Dann hat das
> Polynom [mm]c_0[/mm] + [mm]c_1 \alpha[/mm] + ... + [mm]c_n \alpha^{n}[/mm] höchstens
> n Nullstellen in K.
> Hallo!
> Ich will das zeigen indem ich annehme, dass ich n+1
> Nullstellen habe und möchte das zum Wiederspruch führen.
Hallo,
das wäre auch mein Gedanke.
Wenn es n+1 Nullstellen gibt, so läßt sich das Polynom [mm] \summe_{i=0}^{n}c_ix^i [/mm] schreiben als
[mm] \summe_{i=0}^{n}c_ix^i =k(x-k_1)(x-k_2)...(x-k_n)=kx^{n+1}+p(x), [/mm] wobei p(x) ein Polynom vom Höchstgrad n ist.
Nun einen Koeffizientenvergleich...
Gruß v. Angela
> Ich bilde dazu die Martix [mm]\pmat{ c_o + c_1 \alpha _1 + ... + c_n \alpha _{1}^{n} & \\ ... & \\ c_o + c_1 \alpha_{n+1} + ... + c_n \alpha_{n+1}^{n} & }[/mm]
> =0. Wie komme ich dann weiter?
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> Ich hoffe ihr könnt mir helfen
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