VI Summe n über k < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mi 07.11.2007 | | Autor: | bbuttler |
| Aufgabe | Beweise mit Hilfe der Vollständigen Induktion
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (i+1) * [mm] \vektor{n \\ i} [/mm] = 2^(n-1) * (n+2) - 1
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Ich hab da ein etwas größeres Problem und zwar
hab ich folgende gleichung:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (i+1) * [mm] \vektor{n \\ i} [/mm] = 2^(n-1) * (n+2) - 1
Und soll das ganze nun mit HIlfe der Vollständigen Induktion beweisen
Allerdings scheitere ich schon daran das Folge element der Summe zu berechnen...
Wir haben es auch schon von der anderen Seite her probiert, allerdings fehlt uns einfach die auflösung von
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] (i+1) * [mm] \vektor{2 \\ i}
[/mm]
Also was passiert wenn die summe anstatt bis n nun bis n+1 geht...
Wer genial wenn mir da jemand weiter helfen könnte...
MFG
Björn
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Björn,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
[mm] $$\summe_{i=1}^{n+1}\left[(i+1)*\vektor{\red{n+1} \\ i}\right] [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=1}^{n}\left[(i+1)*\vektor{n+1 \\ i}\right]+(n+1+1)*\vektor{n+1 \\ n+1} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=1}^{n}\left[(i+1)*\vektor{n+1 \\ i}\right]+(n+2)*1 [/mm] \ = \ ...$$
Nun den verbleibenden Binomialkoeffizienten zerlegen gemäß: [mm] $\vektor{n+1\\i} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n\\i-1}+\vektor{n\\i}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:57 Do 08.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
Hallo Ihr beiden,
ich sthe gerade vor demselben problem bei der gleichen Aufgabe.
Könntet Ihr Eure Induktion bitte einmal komplett ins Netz hier stellen??
Danke und Gruss,
X-Metal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Do 08.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo X-Metal,
!!
> Könntet Ihr Eure Induktion bitte einmal komplett ins Netz
> hier stellen??
Das entspricht aber nicht unseren Forenregeln und dem Selbstverständnis dieses Forums.
Bitte poste doch Deine eigenen Lösungsansätze, und dann können wir das gemeinsam durchgehen ... wie weit bist Du denn mit o.g. Tipps gekommen?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Do 08.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
Hallo,
ich weiss bei dieser Aufageb ganz ehrlich gesagt nicht, wo ich da anfangen soll. Ich bekomme nicht mal den Beweis für die Induktionsvorraussetzung hin.
Genau da liegt mein Problem, ich kann hier leider keinen Lösungsansatz oder ähnliches ins Netz stellen, da ich keinen habe.
Gruss,
X-Metal
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> ich weiss bei dieser Aufageb ganz ehrlich gesagt nicht, wo
> ich da anfangen soll.
Hallo,
wenn Du gar keinen Anfang findest, könnte es sein, daß Du das Prinzip der vollständigen  Induktion nicht verstanden hast, welches Du an der verlinkten Stelle nachlesen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 08.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
Mist, da ich neu hier bin habe ich die frage an die falsche Stelle gestellt. Der Übersichtlichkeit halber stelle ich sie hier nochmal, die Admins mögen mir verzeihen.
Also ich bin jetzt bis zu dem Punkt gekommen, an dem ich folgendes habe:
$ [mm] =2^{n-1}(n+2)-1+\summe_{j=0}^{n}((j+1)+1)\vektor{n \\ j}- (n+1+1)\vektor{n \\ n}+(n+2) [/mm] $
Ich komme hier aber nicht weiter, die endgültige Zerlegung der Binomialkoffizienten nach dem Tip von Loddar oben bekomme ich nicht hin. Ich weiss auch, dass wir einbauen sollen, dass
$ [mm] \summe_{j=0}^{n}{\vektor{n \\ j} } [/mm] = [mm] 2^n [/mm] $
ist, das ist ein Tip auf unserem Übungsblatt.
Ich weiss nicht, wie ich nachher zeige, dass die rechte Seite der Gleichung gleich der linken ist, aus gegangen von
$ [mm] \summe_{j=1}^{n}{(j+1) \cdot \vektor{n \\ j}} [/mm] = [mm] 2^{n-1}(n+2)-1 [/mm] $
Kann mir einer von Euch beim Ende helfen?? Bitte
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> Also ich bin jetzt bis zu dem Punkt gekommen, an dem ich
> folgendes habe:
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> [mm]=2^{n-1}(n+2)-1+\summe_{j=0}^{n}((j+1)+1)\vektor{n \\ j}- (n+1+1)\vektor{n \\ n}+(n+2)[/mm]
>
> Ich komme hier aber nicht weiter,
Hallo,
das wundert mich eigentlich, denn die Art, wie Du oben geklammert hast, deutet daraufhin, daß Du schon einen ganz bestimmten Plan hast.
Den mußt Du nun noch zum Ende durchziehen.
Löse die Summen in zwei Summen auf, das ist ja bestens vorbereitet, und das war's dann ja auch fast - bis auf Kleinigkeiten wie Induktionsvoraussetzung einsetzen und den Tip verwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Do 08.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
Hallo Angela,
also wenn ich mir den Tip ansehe und den Rest rausschmeisse bin auf das blanke [mm] 2^n, [/mm] habe ich da immer noch einen Riesenterm, in dem ich mich aber verrenne.
Ich weiss halt nicht weiter, denn der Schluss an dem ich zeige, dass die Gleichung auch für n+1 gilt, bleibt mir verschlossen. Ich bekomme die linke Seite einfach nicht so hin wie die rechte Seite.
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> also wenn ich mir den Tip ansehe und den Rest rausschmeisse
> bin auf das blanke [mm]2^n,[/mm] habe ich da immer noch einen
> Riesenterm, in dem ich mich aber verrenne.
Hallo,
meine Fantasie reicht nicht mir vorzustellen, was Du tust.
Du mußt schon zeigen, was Du machst.
Du mußt nun erstmal in der Summe bedenken, daß [mm] \summe((a+b)c)=\summe(ac+bc)=\summeac [/mm] + [mm] \summebc.
[/mm]
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> Ich weiss halt nicht weiter, denn der Schluss an dem ich
> zeige, dass die Gleichung auch für n+1 gilt, bleibt mir
> verschlossen.
Ja, so wie es jetzt dasteht, ist das schon klar, aber wenn Du das so machst, wie ich gesagt habe, HAST Du am Ende dastehen, was dastehen soll.
Gruß v. Angela
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