Urnenmodell < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Jane23 |
| Aufgabe | Im 16. Jahrhundert wurden in der Stadt Genua jedes Jahr fünf neue Mitglieder des Großen Rates der Stadt durch Los aus einer Liste mit 90 Namen zufällig bestimmt. Vor jeder Ziehung wurden schon bald von Buchmachern Wetten angeboten. Bei ihnen konnte ein Spieler damals unter anderem folgende Wetten anschließen:
[mm] \alpha [/mm] "Unbestimmter Auszug": Vorhersage eines Namens.
[mm] \beta [/mm] "Bestimmter Auszug": Vorhersage eines Namens und Vorhersage, als wievielter dieser gezogen wird.
[mm] \gamma [/mm] "Ambe": Vorhersage von zwei Namen.
[mm] \varphi [/mm] "Terne": Vorhersage von drei Namen.
Die bei richtiger Vorhersage gemachten Gewinne betrugen im Mittel bei [mm] \alpha [/mm] das 16 fache, bei [mm] \beta [/mm] das 70-, bei [mm] \gamma [/mm] das 270- und bei [mm] \varphi [/mm] das 5200 fache des Einsatzes.
a) Zeigen Sie, dass [mm] p(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{1}{18} [/mm] ist und berechenen Sie den mittleren Gewinn des Spielers bei einem Gulden Einsatz.
b) Wie groß sind [mm] p(\beta), p(\gamma) [/mm] und [mm] p(\varphi)?
[/mm]
c) Welchen Gewinn macht im Mittel der Buchmacher bei einem Gulden Einsatz in den Fällen [mm] \beta [/mm] und [mm] \varphi [/mm] ?
d) Wieviel Gulden müsste der Buchmacher bei einem Gewinn im Fall [mm] \gamma [/mm] zahlen, wenn die Wette fair sein sollte? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, ich weiß nicht, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe, vieleicht hat jemand mal kurz Zeit und kann mal einen Blick darauf werfen, wäre echt super.
zu a) 90/5=18. Es gibt also 18 verschiedene Möglichkeiten die 5 Namen zusammen zu tragen, deswegen is [mm] p(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{1}{18}.
[/mm]
Der Spieler bekommt im Mittel das 16 fache seines Einsatz azsgezahlt, dann bekommt er also für den Einsatz von 1 Gulden 16 Gulden als Gewinn ausbezahlt.
zu b)
[mm] p(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-s)!} [/mm] = [mm] \bruch{90}{89} =1\bruch{1}{89}
[/mm]
[mm] p(\gamma) [/mm] = {n [mm] \choose [/mm] s} = [mm] \bruch{90!}{(90-2)!*2!} =\bruch{45}{88}
[/mm]
[mm] p(\varphi) [/mm] = {n [mm] \choose [/mm] s} = [mm] \bruch{90!}{(90-3)!*3!} =\bruch{10}{29}
[/mm]
zu c)
[mm] \beta [/mm] : [mm] E(X)=89\bruch{43}{88}
[/mm]
[mm] \varphi [/mm] : [mm] E(X)=89\bruch{19}{29}
[/mm]
zu d)
Wenn die Wette fair sein sollte, müsste der Buchmacher im Fall von [mm] \gamma [/mm] den Einsatz zurück zahlen, da der Erwartungswert des effektiven Gewinns, d.h. mit Berücksichtigung des Einsatzes, bei einem fairn Spiel gleich 0 ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Sa 01.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Im 16. Jahrhundert wurden in der Stadt Genua jedes Jahr
> fünf neue Mitglieder des Großen Rates der Stadt durch Los
> aus einer Liste mit 90 Namen zufällig bestimmt. Vor jeder
> Ziehung wurden schon bald von Buchmachern Wetten angeboten.
> Bei ihnen konnte ein Spieler damals unter anderem folgende
> Wetten anschließen:
> [mm]\alpha[/mm] "Unbestimmter Auszug": Vorhersage eines Namens.
> [mm]\beta[/mm] "Bestimmter Auszug": Vorhersage eines Namens und
> Vorhersage, als wievielter dieser gezogen wird.
> [mm]\gamma[/mm] "Ambe": Vorhersage von zwei Namen.
> [mm]\varphi[/mm] "Terne": Vorhersage von drei Namen.
> Die bei richtiger Vorhersage gemachten Gewinne betrugen im
> Mittel bei [mm]\alpha[/mm] das 16 fache, bei [mm]\beta[/mm] das 70-, bei
> [mm]\gamma[/mm] das 270- und bei [mm]\varphi[/mm] das 5200 fache des
> Einsatzes.
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]p(\alpha)[/mm] = [mm]\bruch{1}{18}[/mm] ist und
> berechenen Sie den mittleren Gewinn des Spielers bei einem
> Gulden Einsatz.
> b) Wie groß sind [mm]p(\beta), p(\gamma)[/mm] und [mm]p(\varphi)?[/mm]
> c) Welchen Gewinn macht im Mittel der Buchmacher bei einem
> Gulden Einsatz in den Fällen [mm]\beta[/mm] und [mm]\varphi[/mm] ?
> d) Wieviel Gulden müsste der Buchmacher bei einem Gewinn
> im Fall [mm]\gamma[/mm] zahlen, wenn die Wette fair sein sollte?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi, ich weiß nicht, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe,
> vieleicht hat jemand mal kurz Zeit und kann mal einen Blick
> darauf werfen, wäre echt super.
>
> zu a) 90/5=18. Es gibt also 18 verschiedene Möglichkeiten
> die 5 Namen zusammen zu tragen, deswegen is [mm]p(\alpha)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{18}.[/mm]
> Der Spieler bekommt im Mittel das 16 fache seines Einsatz
> azsgezahlt, dann bekommt er also für den Einsatz von 1
> Gulden 16 Gulden als Gewinn ausbezahlt.
>
> zu b)
> [mm]p(\beta)[/mm] = [mm]\bruch{n!}{(n-s)!}[/mm] = [mm]\bruch{90}{89} =1\bruch{1}{89}[/mm]
Hallo,
eine Wahrscheinlichkeit größer als 1 ist Unfug.
>
> [mm]p(\gamma)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {n [mm]\choose[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
s} = [mm]\bruch{90!}{(90-2)!*2!} =\bruch{45}{88}[/mm]
[mm] \bruch{90!}{(90-2)!*2!} [/mm] ergibt 4005. Schau dir die Definition von n! noch einmal an.
Viele Grüße
Abakus
>
> [mm]p(\varphi)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {n [mm]\choose[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
s} = [mm]\bruch{90!}{(90-3)!*3!} =\bruch{10}{29}[/mm]
>
> zu c)
> [mm]\beta[/mm] : [mm]E(X)=89\bruch{43}{88}[/mm]
> [mm]\varphi[/mm] : [mm]E(X)=89\bruch{19}{29}[/mm]
>
> zu d)
> Wenn die Wette fair sein sollte, müsste der Buchmacher im
> Fall von [mm]\gamma[/mm] den Einsatz zurück zahlen, da der
> Erwartungswert des effektiven Gewinns, d.h. mit
> Berücksichtigung des Einsatzes, bei einem fairn Spiel
> gleich 0 ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 02.03.2008 | | Autor: | Jane23 |
Die anderen Aufgaben sind aber richtig? a), c) und d)???
Bei b) hab ich is nochmal versucht:
bei [mm] p(\beta) [/mm] handelt es sich ja um eine geordnete Stichprobe, ohne Zurücklegen. Also gilt [mm] \bruch{n!}{(n-s)!}. [/mm] Die gesamten Möglichkeiten sind demnach [mm] \bruch{90!}{(90-5)!} [/mm] = 5 273 912 160.
Das ganze jetzt nochmal für [mm] p(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{90!}{(90-1)!} [/mm] = 90. und jetzt teile ich doch 90 / 5 273 912 160
Also hab ich dann für [mm] p(\beta)=1,7068^-08. [/mm] Oder?
Füe [mm] p(\gamma) [/mm] und [mm] p(\varphi) [/mm] gilt aber jetzt ungeordnete Stichprobe, ohne Zurücklegen, also wie oben erst die gesamten Möglichkeiten [mm] \bruch{90!}{(90-5)!*5!} [/mm] = 43 949 168
[mm] p(\gamma)= \bruch{90!}{(90-2)!*2!} [/mm] = 4005 und 4005/43 949 268=0,0001?
[mm] p(\varphi)= \bruch{90!}{(90-3)!*3!} [/mm] = 117 480 und 117 480/43 949 268=0,0027?
Is das jetzt richtig???
c) denke ich auch, dass die von mir falsch beantwortet worden ist, Aber ich weiß nicht, wie ich sie angehen soll!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 So 02.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Deine Ergebnisse jetzt nur mal ebend im Kopf überflogen habend, sind leider nicht korrekt.
Es ist auch sehr skuril, dass deine Wahrscheinlichkeiten am Ende größer werden. Die Wkt. 2 Leute zu erraten ist doch, rein logisch betrachtet größer, als das Erraten von 3?
Bereits bei der a) ist deine Antwort ein wenig seltsam.
Wo nimmst du her, dass du die "von dir errechnete 18" einfach als Nenner eines Bruches nehmen kannst ?
Naja.
Wenn du es dir einfach machen willst, denk einfach an einen Baum oder nimm die ganz normale La- Place Regel:
[mm] \bruch{Guenstig}{Moeglich} [/mm] = [mm] \bruch{5}{90} [/mm] = [mm] \bruch{1}{18}.
[/mm]
Bei der b) einfach eine Multiplikation des vorigen Ergebnisses mit [mm] \bruch{1}{5}, [/mm] da es 5 mögliche Positionen für die von dir erratene Person gibt.
Da die Wktn. deiner Ereignisse falsch sind, sind logischerweise auch die Erwartungswerte leider falsch.
Berechne für c) den Erwartungswert in Abhängigkeit von x; soll heißen, dass du die Auszahlung beim Ereignis [mm] \gamma [/mm] einfach mal x nennst.
Dann kommt ein Ergebnis in der Form E(x) = 100 - x (willkürlicher Wert; habe nichts berechnet) heraus. Dann musst du, wie bereits richtig von dir angegeben, nun x so auswählen, dass E(x)=0.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 02.03.2008 | | Autor: | Jane23 |
> Hallo!
>
> Deine Ergebnisse jetzt nur mal ebend im Kopf überflogen
> habend, sind leider nicht korrekt.
> Es ist auch sehr skuril, dass deine Wahrscheinlichkeiten
> am Ende größer werden. Die Wkt. 2 Leute zu erraten ist
> doch, rein logisch betrachtet größer, als das Erraten von
> 3?
Hi, da hast du ja recht, aber ich hab doch die Formeln um die Wkt. zu errechnen benutzt, hab ich sie falsch benutzt oder muss ich da anders vorgehen?
> Bei der b) einfach eine Multiplikation des vorigen
> Ergebnisses mit [mm]\bruch{1}{5},[/mm] da es 5 mögliche Positionen
> für die von dir erratene Person gibt.
Also [mm] \bruch{1}{18} [/mm] * [mm] \bruch{1}{5} [/mm] einfach?
Ich versteh einfach nur Bahnhof! Ich fang mit der Wkt. am besten nochmal von vorne an!
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Die bisherigen Antworten waren ja bisher nicht so hilfreich. Deshalb versuche ich das mal etwas ausführlicher zu erklären.
a) [mm] p(\alpha) [/mm] = 5/90 = 1/18 bei 5 aus 90 gezogenen Namen. Nun sollst Du noch den mittleren Gewinn berechnen. 16 Gulden ist leider nicht richtig. Du musst bedenken, dass 16 Gulden nur im Falle des Gewinns ausbezahlt werden. Mit Wahrscheinlichkeit 17/18 gibt es also 0 Gulden. Zudem deutet die Frage darauf hin, dass Du den Einsatz von einem Gulden mit einbeziehen sollst. Versuch das mal...
b) Bei der Berechnung von [mm] p(\beta) [/mm] stimmt es, dass es n!/(n-s)! = 5273912160 Möglichkeiten gibt. Aber in wievielen Fällen gewinnt man? Beachte, dass es egal ist wer die anderen Namen sind, also gibt 89*88*87*86 Kombinationen, bei denen unser Tipp an der richtigen Stelle rangiert. Also:
[mm] p(\beta)= [/mm] 89*88*87*86/5273912160 = 1/90
Kannst Du das nachvollziehen?
Bei [mm] p(\gamma) [/mm] bin ich mir selbst nicht 100%-ig sicher. Auf den ersten Blick scheint es wie Lotto "6 aus 49" natürlich hier "5 aus 90" mit zwei Richtigen zu sein. Allerdings werden hier ja nur zwei und nicht 5 Tipps abgegeben, damit sind die Standardformeln nicht ohne Weiteres anwendbar.
Intuitiv sollte [mm] p(\gamma) [/mm] = 4*5/89*90 sein.
c) Für den Gewinn des Buchmachers musst Du seinen Erwartungswert bilden: E[Spiel [mm] \beta] [/mm] = 1 - [mm] p(\beta)*Gewinn
[/mm]
d) Ist einfach, sofern Du b) gelöst hast
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